题解 P5024 【保卫王国】
zhoutb2333
2018-11-14 17:14:35
考场上一眼动态dp。。然而又看到没有修改点权，所以倍增就好了
令 $T$ 为整棵树，设 $f[i][0/1]$ 表示（以 $i$ 为根的子树），其中 $i$ 选/不选的最小代价，$g[i][0/1]$ 为 （ $T-$ 以 $i$ 为根的子树），其中 $i$ 选/不选的最小代价。这两个数组可以树形dp求出。
然后令 $anc$ 表示 $i$ 的 $2^j$ 祖先， $fh[i][j][0/1][0/1]$ 表示（$anc$ 的子树 $- \ i$ 的子树 ），其中 $i$ 的状态为 $0/1$ ，$anc$ 的状态为 $0/1$ 的最小代价，这个数组可以枚举 $i$ 的 $2^{j-1}$ 祖先的状态直接转移。
然后有了这些数组我们就可以处理询问了。
- 如果 $a$ 是 $b$ 的祖先，那么可以直接倍增上去（还是像 $fh$ 一样合并倍增数组，枚举中间点的状态即可），然后不要忘了加上 $g[a][x]$ 。
- 否则我们需要先把 $a$ 和 $b$ 都倍增到 $lca$ 的儿子处，然后枚举 $lca$ 和两个儿子的状态，具体可以见代码。
复杂度 $O((n+q) \log n)$ ，不是最优算法，但已经可以通过本题。
附考场代码，赶时间写的，所以不美观。。
``` cpp
#include<cstdio>
#include<set>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define maxn 100010
#define maxm 200010
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
int hd[maxn],nxt[maxm],pnt[maxm],tot=0;
int fa[maxn][20],val[maxn],dep[maxn],n,q;
ll f[maxn][2],g[maxn][2],fh[maxn][20][2][2];
const ll INF=1LL<<60;
char Type[10];
set<pii> st;
void read(int &x){
char ch=x=0;
while(!isdigit(ch))
ch=getchar();
while(isdigit(ch))
x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
void add(int x,int y){
pnt[++tot]=y,nxt[tot]=hd[x],hd[x]=tot;
}
void dfs(int x,int FA,int d){
fa[x][0]=FA,dep[x]=d;
f[x][1]=val[x];
for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
int v=pnt[i];
if(v==FA)
continue;
dfs(v,x,d+1);
f[x][0]+=f[v][1],f[x][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
}
}
void dfs_2(int x){
for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
int v=pnt[i];
if(v==fa[x][0])
continue;
g[v][0]=g[x][1]+f[x][1]-min(f[v][0],f[v][1]);
g[v][1]=min(g[x][0]+f[x][0]-f[v][1],g[v][0]);
dfs_2(v);
}
}
ll solve(int x,int a,int y,int b){// x 和 a 互换 , y 和 b 互换
if(dep[x]<dep[y])
swap(x,y),swap(a,b);
ll tx[2]={INF,INF},ty[2]={INF,INF};
ll nx[2],ny[2];
tx[a]=f[x][a],ty[b]=f[y][b];
for(int i=19;~i;i--){
if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]){
nx[0]=nx[1]=INF;
for(int j=0;j<2;j++){
for(int k=0;k<2;k++)
nx[j]=min(nx[j],tx[k]+fh[x][i][k][j]);
}
tx[0]=nx[0],tx[1]=nx[1],x=fa[x][i];
}
}
if(x==y)
return tx[b]+g[x][b];
for(int i=19;~i;i--){
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
nx[0]=nx[1]=ny[0]=ny[1]=INF;
for(int j=0;j<2;j++){
for(int k=0;k<2;k++){
nx[j]=min(nx[j],tx[k]+fh[x][i][k][j]);
ny[j]=min(ny[j],ty[k]+fh[y][i][k][j]);
}
}
tx[0]=nx[0],tx[1]=nx[1],x=fa[x][i];
ty[0]=ny[0],ty[1]=ny[1],y=fa[y][i];
}
}
int lca=fa[x][0];
ll ans0=f[lca][0]-f[x][1]-f[y][1]+tx[1]+ty[1]+g[lca][0];
ll ans1=f[lca][1]-min(f[x][0],f[x][1])-min(f[y][0],f[y][1])+min(tx[0],tx[1])+min(ty[0],ty[1])+g[lca][1];
return min(ans0,ans1);
}
int main(){
read(n),read(q),scanf("%s",Type);
for(int i=1;i<=n;i++)
read(val[i]);
for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++){
read(u),read(v);
add(u,v),add(v,u);
st.insert(mp(u,v)),st.insert(mp(v,u));
}
dfs(1,0,1),dfs_2(1);
for(int i=1;i<=n;i++){
fh[i][0][0][0]=INF;
fh[i][0][0][1]=f[fa[i][0]][1]-min(f[i][0],f[i][1]);
fh[i][0][1][0]=f[fa[i][0]][0]-f[i][1];
fh[i][0][1][1]=f[fa[i][0]][1]-min(f[i][0],f[i][1]);
}
for(int j=1;j<=19;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp=fa[i][j-1];
fa[i][j]=fa[tmp][j-1];
for(int u=0;u<2;u++){
for(int v=0;v<2;v++){
fh[i][j][u][v]=INF;
for(int w=0;w<2;w++)
fh[i][j][u][v]=min(fh[i][j][u][v],fh[i][j-1][u][w]+fh[tmp][j-1][w][v]);
}
}
}
}
for(int i=1,a,b,x,y;i<=q;i++){
read(a),read(x),read(b),read(y);
if(!x&&!y&&st.find(mp(a,b))!=st.end()){
puts("-1");
continue;
}
printf("%lld\n",solve(a,x,b,y));
}
return 0;
}
```