并非神秘数论题

学术版

WorldMachine @ 2024-12-21 08:50:13

记 S(n,m)=\{x|n\bmod x+m\bmod x\geq x\}，求证 \sum\limits_{x\in S(n,m)}\varphi(x)=nm。

by bsdsdb @ 2024-12-21 08:53:26

@Pentiment 那S不是空集吗，大于等于是不是写错了

by WorldMachine @ 2024-12-21 08:57:04

@bsdsdb 为何空集

by bsdsdb @ 2024-12-21 08:58:23

@Pentiment 模 x 是最后算的吗

by WorldMachine @ 2024-12-21 08:59:27

@bsdsdb 那就是 (n\bmod x)+(m\bmod x)\geq x

by bsdsdb @ 2024-12-21 09:00:32

哥我错了

by Naszt @ 2024-12-21 10:55:01

我也不会，求教QwQ

by 飞雨烟雁 @ 2024-12-21 11:39:03

@Pentiment 注意到：

[n\bmod x+m\bmod x\ge x]= \left\lfloor\frac{n+m}{x}\right\rfloor -\left\lfloor \frac nx\right\rfloor+\left\lfloor \frac mx\right\rfloor

再利用 \sum_{x\le n}\varphi(n)\lfloor \frac nx\rfloor=\frac {n(n+1)}2 即可。

by 飞雨烟雁 @ 2024-12-21 11:40:30

@飞雨烟雁等式右端的 \lfloor\frac{m}{x}\rfloor 前面应改成减号。

by WorldMachine @ 2024-12-21 13:04:02

@飞雨烟雁 thx