数学题

学术版

听取MLE声一片 @ 2025-05-13 21:05:11

你现在被给予一个初始为 i 的整数，每次有 p 概率 +1，有 1-p 概率 -1。如果这个数等于 n 则结束称为胜利，这个数等于 -n 则结束称为失败。

1.对于每个 i 求最终胜利的概率。

2.对于每个 i 求期望进行的次数。

有无封闭形式。

by WA_TERBRAIN @ 2025-05-13 21:26:15

这可能需要级数的概念吧

by Grammar_hbw @ 2025-05-13 21:55:26

关于第二条：这个应该可以写成3阶线性递推吧，然后通项是可以求的。

by NobodyThere @ 2025-05-13 21:56:32

把转移列出来是不是就能求封闭形式了啊

by LHQing @ 2025-05-13 21:57:12

记 q=1−p，状态空间 S={−n,−n+1,…,n−1,n}，吸收态为 −n（失败）和 +n（成功），初始态为 i∈{−n+1,…,n−1}。我们要求

  1. P_i = P{先到 +n 再到 −n ∣ 从 i 开始}
  2. E_i = E[吸收所需步数 ∣ 从 i 开始]

下面给出一对一的闭式解。为方便记号，将 i 平移 k=i+n，则 k∈{0,1,…,2n}，边界 k=0 对应 i=−n，k=2n 对应 i=+n。

———
一．成功概率 P_i

P_i = (1 − ((1−p)/p)^{\,i+n})/(1 − ((1−p)/p)^{\,2n})

———
二．期望步数 E_i

记 r=(1−p)/p，则可写为

E_i = (i+n)/(1−2p) − (2n)/(1−2p) · [1 − r^{\,i+n}]/[1 − r^{\,2n}]

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验证：
• 对 P_i 满足线性递推 p P_{i+1}+q P_{i−1}=P_i，边界 P_{−n}=0,P_{+n}=1；
• 对 E_i 满足 p E_{i+1}+q E_{i−1}=E_i−1，边界 E_{−n}=E_{+n}=0。

以上即为完全的闭式解。

by LHQing @ 2025-05-13 21:58:45

不知道对不对 @听取MLE声一片 记得验证一下

MLE高考加油!

by 听取MLE声一片 @ 2025-05-14 06:54:11

@LHQing 月亮好闪，拜谢月亮

by ShwStone @ 2025-05-14 08:10:09

突然想到一个月之前出现的一张不能过审的图

by _•́へ•́╬_ @ 2025-05-14 12:30:21

马尔科夫链。山东whk教育就这质量。

by HydrogenOxygen @ 2025-05-14 13:40:06

_•́へ•́╬_楼下！

by chenxi2009 @ 2025-05-14 15:26:11

月亮好闪，拜谢月亮

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