Spasmodic @ 2021-07-17 21:48:16
$$
\begin{aligned}
a_{n+1}&=\frac{a_n+1}{2}\\
b_{n+1}&=b_n^k
\end{aligned}
$$
求证：$\exists N,\forall n>N,a_n>b_n$。
原题位于中等数学2021高联模拟(7)二试第一道解答题，但是目测答案对 $b_n$ 使用伯努利不等式反向了，所以来问一下
by SmokedFish @ 2021-07-26 19:56:37
@happyChristmas
如果回复麻烦at我一下……
记 c_i=1-a_i,d_i=1-b_i，则有 c_n=\frac{c_0}{2^n},d_n=1-(1-d_{n-1})^k，然后就是相当于要证存在 \exists N\in\mathbb{Z}^+，使得对于 \forall n\in\mathbb{Z}^+\cap(N,+\infty) 有 c_n>d_n。
然后 \frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{1-b_n^k}{1-b_n}，然后这个东西大概是有结论极限等于 k 的（也可能不对，错了请喷死我）反正我不会。随便取个有理数 \frac{q}{p}\in(k,\frac{1}{2})，然后加强结论（懒得写了反正就直接把 k 改成这个玩意）换元 x=b_n^\frac{1}{p}，然后这个式子就变成了 \frac{1-x^q}{1-x^p}，然后这个东西大概就是 \dfrac{\sum_{i=0}^{q-1}x^i}{\sum_{j=0}^{p-1}x^j}，然后对 x\to1 取个极限大概就是 \frac{q}{p}（由于对极限不熟，这一步可能有误），然后根据极限定义这玩意可以充分接近于 \frac{q}{p} 于是 \exists\epsilon\in(0,2) 满足当 x 充分接近于 1 的时候满足 \frac{1}{2+\epsilon}>\frac{1-x^q}{1-x^p}，也就是 d_n 到后面的跌幅会超过 2。
然后就对 \frac{d_i}{c_i} 极限一取得到 0 然后做完了。
另外感觉这个洛谷的 \epsilon 好像有亿点点难看（