Spasmodic @ 2021-08-21 21:31:34
证明/推翻：
by 虞皓翔 @ 2021-08-21 22:33:57
反例：f(x) = 7 - x^3。
满足条件：即证明不定方程 x^3 + y^2 = 7 无解。
这部分首先模 4 可知 x \equiv 3 \pmod 4，于是 2 - x \mid 8 - x^3 = y^2 + 1，矛盾（y^2 + 1 不可能有 4 k + 3 型素因子）。
结论不满足：即说明对任意 p \in \mathbb N^+，同余方程 x^3 + y^2 \equiv 7 \pmod p 有解。
事实上，可以说明对任意 p \in \mathbb N^+，x^3 + y^2 (0 \leq x, y \leq p - 1) 可以取遍模意义下 0 \sim p - 1 的所有值。这个定理可以通过类似 Cauchy–Davenport 定理的方法不难证明。
by 虞皓翔 @ 2021-08-21 22:34:50
@happyChristmas 这个例子也说明了，三次以上的不定方程有时不能单纯的通过对模意义解决。
by Spasmodic @ 2021-08-21 23:46:52
@虞皓翔 thx