求助高一数学题qwq

灌水区

zhiyangfan @ 2021-09-17 20:32:33

我们老师刚讲完基本不等式，但是我现在这几类题型都不太会qwq

  • 已知 a>b>c ，且 \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{m}{b-c}\ge\dfrac{9}{a-c} 恒成立，则正数 m 的取值范围？
  • 已知 x,y 为正实数，且满足 2x^2+8y^2+xy=2，则 x+2y 的最大值是？
  • 已知 x>y>0,xy=1，若 x^2+y^2\ge a(x-y) 恒成立，则 a 的取值范围？

就大概说一下基本思路就好了qwq

by zhiyangfan @ 2021-09-17 20:36:04

qwq真的想了一个多小时了，心态已经炸了

by ExplodingKonjac @ 2021-09-17 20:39:07

第三个应该可以两边同时减 2：

\begin{aligned} (x-y)^2 &\ge a(x-y)-2\\ t^2-at+2 &\ge 0&(t>0) \end{aligned}

然后用二次函数搞吧

另外两个还不会qwq

by zhiyangfan @ 2021-09-17 20:40:15

@ExplodingKonjac Orz 您，确实

这次的数学作业属实把我搞破防了

by Scrutiny @ 2021-09-17 20:44:21

第二个：

2=2x^2+8y^2+xy=2(x+2y)^2-7xy

又因为 (x+2y)^2\ge8xy，所以 7xy\le \frac{7}{8}(x+2y)^2

所以 2\ge 2(x+2y)^2-\frac{7}{8}(x+2y)^2=\frac{9}{8}(x+2y)^2

即 x+2y\le \frac 43.

by FunnyCreatress @ 2021-09-17 20:45:56

1.柯西随便做做，m\ge4

by zhiyangfan @ 2021-09-17 20:46:18

@Scrutiny Orz 谢谢谢谢qwq

by zhiyangfan @ 2021-09-17 20:47:09

@FunnyCreatress /jk 还没学到柯西（别问为啥 OI 没学，问就是菜/kk

好吧，谢谢谢谢，这就去学柯西

by Scrutiny @ 2021-09-17 20:48:17

第一个：设 a-b=x>0,b-c=y>0

只需 \frac 1x+\frac my\ge\frac{9}{x+y}

一方面，取 x=1,y=2，则 m\ge 4

另一方面 m\ge4 时 (x+y)(\frac 1x+\frac my)\ge (1+\sqrt m)^2\ge9，故 m\in[4,\infty)

by Scrutiny @ 2021-09-17 20:49:27

@zhiyangfan 其实只要二元柯西，即 (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2，这个展开即得证

by zhiyangfan @ 2021-09-17 20:50:11

@Scrutiny Orz 谢谢谢谢谢谢，我的数学作业终于有救了qwq

大概明白为啥我 OI 数学题做不出来了

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