chen_zhe @ 2022-01-08 20:39:07
两个压轴大题想不起来了，于是回忆起来了填选压轴和一个非常恶心的应用题。
by chen_zhe @ 2022-01-08 20:39:12
- 给定一根双曲线 \dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1，在双曲线上有两点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，问当 x_1x_2-y_1y_2>0 恒成立时，a 的取值范围。
解：设参数方程 \begin{cases} x=a \sec \theta \\ y= \tan \theta\end{cases}\theta \in [0,\dfrac{\pi}{2})
x_1x_2-y_1y_2=a^2 \sec \theta_1 \sec \theta_2-\tan \theta_1 \tan \theta_2=\dfrac{a^2}{\cos \theta_1 \cos \theta_2}-\dfrac{\sin \theta_1\sin \theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2}=\dfrac{a^2-\sin\theta_1\sin\theta_2}{\cos \theta_1\cos \theta_2}$，而 $\sin \theta_1\sin\theta_2<1$ 恒成立，故 $a \in [1,+\infty)
-
解：画图立刻得 2。大概逻辑是渐近线是 x=2k,k \in Z，而当 y=x+1，x \to \infty 时，交点无限接近相邻两条渐近线，故极限为 2。
- 有一等比数列 \{a_n\}，前 n 项和为 S_n，前 n 项积为 T_n，则下列说法正确的是：
A. S_{2022}>S_{2021} 则 \{a_n\} 单增；
B. T_{2022}>T_{2021} 则 \{a_n\} 单增；
C. \{S_n\} 单增则 a_{2022}>a_{2021}；
D. \{T_n\} 单增则 a_{2022}>a_{2021}。
解：q<0 可以把 A 排除，因为可以构造 a_{2022} 为正的骗出 S_{2022}>S_{2021} 但是 \{a_n\} 无单调性。B 就 a_1<0,q>1 排除。C 只要保证 a_n 恒正即可，a_1>0,q \in (0,1)。D 正确。
- 应用题尼莫舒利。
如图为矩形 ABCD，AB=30,AD=15，圆 D 半径为 15，AB 上有一动点 E，过 E 作圆 D 的切线交 DC 于 F，求 EBCF 的面积最大值。
解：设切线与圆的交点 G。联结 DG。\angle ADE=\theta(\theta \in (0,\dfrac{\pi}{2}))，AE=15 \tan \theta。
由外角，$\angle FEB=2 \theta$。作 $FH \bot AB$，垂足为 $H$，$GI \bot AB$，垂足为 $I$。$GI=EG \tan\theta=15\tan \theta \sin 2\theta
因为 GI \parallel FH，故 \dfrac{EG}{EF}=\dfrac{GI}{FH}，\dfrac{15 \tan \theta}{EF}=\dfrac{15 \tan \theta \sin 2\theta}{15}
故 EF=\dfrac{225 \tan \theta}{15 \tan \theta \sin 2\theta}=\dfrac{15}{\sin{2\theta}}
故 EH=EF \cos 2\theta=15 \cot 2\theta，HB=30-15 \tan \theta-15 \cot 2\theta
S_{HBCF}=HB \times CB=450-225 \tan \theta-225 \cot 2\theta
S_{\triangle EHF}=\dfrac{1}{2}EH \times HF=\dfrac{225 \cot 2\theta}{2}
相加，可得 S=450-225 \tan \theta-\dfrac{225 \cot 2\theta}{2}=450-225 \tan \theta-\dfrac{225}{2\tan 2\theta}
=450-225 \tan \theta-\dfrac{225}{2 \dfrac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}}=450-225 \tan \theta-\dfrac{225-225\tan^2 \theta}{4 \tan \theta}
=450-\dfrac{675 \tan^2 \theta+225}{4 \tan \theta}=450-\dfrac{675}{4}\tan \theta-\dfrac{225}{4\tan \theta}
而 \dfrac{675}{4}\tan \theta+\dfrac{225}{4\tan \theta} \leq 2\sqrt{\dfrac{675}{4} \tan \theta \times \dfrac{225}{4 \tan \theta}}=2\sqrt{\dfrac{151875}{16}}\sim194.856，当 \tan \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3} 时取得，此时 \theta=\dfrac{\pi}{6}。
故 S_{\max}=255.15,AE=5\sqrt{3}=8.66。
再验证 \theta=\dfrac{\pi}{4}，易得此时为一正方形，S=EF \times EB=225<255.15。
by Eason_AC @ 2022-01-08 20:40:00
倒数第二行 LaTeX 锅了，应该是 故 $S_{\max}=255.15,AE=5\sqrt{3}=8.66$。
by MiddleRed @ 2022-01-08 20:58:09
11题我觉得出题者想考不等式，如果两点一个在第一象限一个在第三象限，那么恒成立；如果都在第一象限，只要满足 x_1>y_1 和 x_2>y_2 ，然后不等式同向相乘得到原先的不等式。要让任意点满足 x>y 就渐近线斜率小于等于1即可
然后压轴题记得是甲操作f(x)-f(x-t)，乙操作abs(f(x+t)-f(x))，最后问的是对一个R上(0,+∞)单调增的函数f(x)先进行甲后进行乙得到h1(x)，另一个先进行乙后进行甲得到h2(x)，如果h1(x)=h2(x)恒成立，求证f(x)在R上增（可能漏了点细节）