为什么导数恒为正且有限个零点，函数严格丹钓

学术版

ppip @ 2022-03-30 15:46:21

rt。函数在值域内处处可导。

我只能理解无零点的情况

by ix35 @ 2022-03-30 15:52:33

@ppip

由 Lagrange 中值定理知函数非严格丹钓，假设存在 x_1\ne x_2 使得 f(x_1)=f(x_2)，则 \forall x\in [x_1,x_2] 都有 f(x)=f(x_1)，从而 f'(x)=0，这样 f' 有了无穷多零点。

by ssytxy2024 @ 2022-03-30 16:04:14

ix35!\se

by ppip @ 2022-03-30 16:06:12

@ix35 我说的是有限个零点的情况啊

by ppip @ 2022-03-30 16:06:59

标题可能有问题，“恒为正”和“有零点”矛盾：（

by ix35 @ 2022-03-30 16:24:58

@ppip

如果不严格单调，则导数存在无穷多零点，这说明如果导数零点有限，则原函数严格单调

by CTYawa @ 2022-03-30 16:35:29

@ppip lz应该是恒非负的意思（

by Terrible @ 2022-03-30 17:07:25

单调函数\;\;设函数为 f(x)，如果对于某区间 X 内的任何两点 x_1<x_2, f(x_1)\leqslant f(x_2)（或 f(x_1)\geqslant f(x_2)）总成立，则称函数 f(x) 在区间

**严格单调增加/上升**（或**严格单调减少/下降**）. 在 $R$ 上处处可导的函数 $f(x)$，严格单调递增的充分条件是，其导函数 $f'(x)$ 只在可数个点处等于 $0$ ，其他情况下，均为正数.

by Terrible @ 2022-03-30 17:23:42

上面的结论比较通俗的解释是，f(x) 在大多数点都会增加，只在零零散散的若干个点处不增不减，对任意 x_1<x_2（即便 x_1 和 x_2 挨得非常非常近），我们总能找到零零散散的点中一整块区间x\in(a,b),(x_1<a<b<x_2)，在这段区间里f'(x)>0，那么 f(x) 在这段区间是增加的，以至于 f(x_2) 一定比 f(x_1) 严格大。

严谨的结论的证明是非常啰嗦的，所以只能给你粗略的解释一下。@ppip

by ppip @ 2022-03-30 22:19:44

@Terrible 这个结论更强，是“可数”了

不过我理解了orz

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