【OI 无关】征集概率期望好题

灌水区

VinstaG173 @ 2022-04-04 15:35:05

征集一些概率期望相关的好的数学题（不要 OI 题）。无偿，各位自愿帮助，我也只能报以感谢/kk

最好不要是简单的概率期望计算题，做法中有一些新意或有思想尝试和所用知识有特别价值者更好。

同样欢迎神仙介绍一些例如用概率方法证明的组合数学问题或其他本身不是纯概率期望题但是有好的使用概率方法解决的问题（比如 Paul Erdös 的一些证明之类）。

by 飞雨烟雁 @ 2022-04-04 16:03:48

有一个很经典的期望题：在 [0,1] 内随机选取 n 个小数，将它们累加，直到和大于 1 为止。问平均取几个数累加，它们的和大于 1？

这个问题的解法还是很好玩的。我们可以试着拓展一下，把“累加每个小数的值”改成“累加每个小数的平方和”，问平均要取几次才能大于 1。

改装后的问题难度突增，可以挑战一下（

by VinstaG173 @ 2022-04-04 16:06:37

@飞雨烟雁谢谢，我先想想。

by LingerFeng @ 2022-04-04 16:28:39

@飞雨烟雁一眼 e 次，没经过思考，错了当我没说。

by LingerFeng @ 2022-04-04 16:29:09

@飞雨烟雁拓展就不想去想它了。

by DaiRuiChen007 @ 2022-04-04 20:16:11

怪题，可能要用一些奇怪知识：

求一元二次方程 x^2+px+q=0 在 p\in[-x,x],q\in[-y,y] 时有实根的概率。（p,q,x,y 为实数，x,y\ge0）

by esquigybcu @ 2022-04-05 14:58:30

@飞雨烟雁分别是 e 和 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor} 是吗

@VinstaG173

by VinstaG173 @ 2022-04-05 15:57:31

@pzq_loves_qwq 那个题是我验的……（

by Spasmodic @ 2022-04-07 12:55:50

@VinstaG173 红包题是吧