「有理数次方集」和 R 的大小关系如何？

学术版

ppip @ 2022-04-10 14:06:28

大小关系是指基数角度，如测度为 0（\mathbb{Q} 相对 \mathbb{R} 的测度就为 0）或一样大（任意大小的区间与 \mathbb{R}）。

「有理数次方集」指集合

\{p^q:p,q\in \mathbb{Q}\}

或者说有理数以及根号数的集合。

by ppip @ 2022-04-10 14:08:11

补充：不包含虚数，如

(-1)^\frac{1}{2}

不属于该集合（忘记考虑了）

by donghanwen1225 @ 2022-04-10 14:13:25

蒟蒻觉得，有理数的有理数次方一定是代数数，代数数可数但超越数不可数，因此这个集合比 \mathbb{R} 小。

by zhy137036 @ 2022-04-10 14:15:38

这个看起来不超过 \aleph_0 的平方，所以比 \aleph_1 小