关于狄利克雷卷积

学术版

MornStar @ 2023-08-23 19:38:12

今天做题的时候突然发现自己推的式子里面有

\sum \limits_{d\mid n}d \times \varphi(\frac{n}{d})

我心想，这不就是 id 函数和 \varphi 函数的卷积吗。

但是不知道最后会卷出来一个什么函数，有没有数论 dalao 帮帮忙。

by bamboo12345 @ 2023-08-23 19:50:17

挺诡异的，假设结果为函数 f，n=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}，则

f(n)=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{a_i-1}((p_i-1)a_i+1)

by bamboo12345 @ 2023-08-23 19:51:39

应该不会更好用（）

by MornStar @ 2023-08-23 19:53:17

确实，但是thx

by MornStar @ 2023-08-23 19:54:34

@bamboo123

所以这个函数又是怎么得出来的呢？

by bamboo12345 @ 2023-08-23 20:03:53

@MornStar 就是这个函数肯定是积性的，所以你分别讨论 f 在 p^a 处的取值然后积在一起就可以得出这个东西

by MornStar @ 2023-08-23 20:05:02

@bamboo123 thx.

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