求证一个求和上下界

学术版

WorldMachine @ 2024-02-23 22:33:16

求证：

\dfrac23 n\sqrt n<\sum_{i=1}^n\sqrt n<\dfrac 23 n\sqrt n+\dfrac 12\sqrt n

目前我只做出来

\dfrac23 n\sqrt n<\sum_{i=1}^n\sqrt n<\dfrac 23 (n+1)\sqrt{n+1}-\dfrac 23

by SDLTF_凌亭风 @ 2024-02-23 22:41:40

导数的秘密上有一个平均好像是这个，但是我的书不在手上

by SDLTF_凌亭风 @ 2024-02-23 22:46:17

https://www.zhihu.com/question/425078094/answer/1855969511

看看这是否对你有用

by jijidawang @ 2024-02-23 22:54:22

zeta 函数

by _HCl_ @ 2024-02-23 23:37:40

@Run_Time_Error

左边的你已经证了，我就只去证明右边的不等式了。其实数学归纳法证明起来还是很容易的，你也可以自己先试试。

Proof:

当 n=1 时, 不等式显然成立.

假设当 n=k 时, 不等式成立, 即 \sum\limits_{i=1}^{k}\sqrt{i}<\dfrac{2}{3}k\sqrt{k}+\dfrac{1}{2}\sqrt{k}.

下证当 n=k+1 时, 不等式成立, 即

\sum\limits_{i=1}^{k+1}\sqrt{i}<\dfrac{2}{3}(k+1)\sqrt{k+1}+\dfrac{1}{2}\sqrt{k+1}\quad\quad\quad\quad(1)

命题等价于证明 (\dfrac{2}{3}(k+1)\sqrt{k+1}+\dfrac{1}{2}\sqrt{k+1})-(\dfrac{2}{3}k\sqrt{k}+\dfrac{1}{2}\sqrt{k})>k.

化简，得到 4(k+1)\sqrt{k+1}-4k\sqrt{k}-3\sqrt{k}>0

设 f(x)=4(x+1)\sqrt{x+1}-4x\sqrt{x}-3\sqrt{x}, 下证 f(x)>0。

显然有 f(1)=8\sqrt{2}-7>0.

有 f'(x)=6\sqrt{x+1}-6\sqrt{x}-\dfrac{3}{2\sqrt{x}}. 欲证 f(x)>0, 即证 f'(x)>0.

代入, 化简得 \sqrt{x(x+1)}-x>\dfrac{1}{4}.

设 g(x)=\sqrt{x(x+1)}-x, 有 g(1)=\sqrt{2}-1>\dfrac{1}{4}.

有 g'(x)=\dfrac{2k+1}{2\sqrt{k^2+k}}-1, 下证 g'(x)>0.

化简得 4k^2+4k+1>4k^2+4k, 该等式显然成立. 故命题 (1) 成立.

由数学归纳法得, 原命题成立.

证毕.

码字不易，无耻求关（？）

（其实不关注也行）

by _HCl_ @ 2024-02-23 23:42:41

@HCl

勘误:

下面这一行中的“该等式显然成立”中的“等式”应改为“不等式”。

by XeCtera @ 2024-02-24 00:01:58

当 x\ge1 时，有

&~\dfrac23\Big[x\sqrt x-(x-1)\sqrt{x-1}\Big]+\dfrac12(\sqrt x-\sqrt{x-1})\\ \xlongequal[]{u=\sqrt x,v=\sqrt{x-1}}&~\dfrac23(u^3-v^3)+\dfrac12(u-v)\\ =&~\dfrac23(u-v)(u^2+uv+v^2)+\dfrac12(u-v)\\ =&~\dfrac16(u-v)[3(u+v)^2+(u-v)^2]+\dfrac12(u-v)\\ =&~\dfrac12(u^2-v^2)(u+v)+\dfrac16(u-v)^3+\dfrac12(u-v)\\ \xlongequal[]{u^2-v^2=1}&~u+\dfrac16(u-v)^3\\ \ge&~u\\ =&~\sqrt x \end{aligned}

因此

\sqrt x\le \dfrac23\Big[x\sqrt x-(x-1)\sqrt{x-1}\Big]+\dfrac12(\sqrt x-\sqrt{x-1})

对 x=1,2,\cdots,n 求和即得

\sum_{k=1}^n\sqrt k<\dfrac23n\sqrt n+\dfrac12\sqrt n
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