求助数学

灌水区

水星湖 @ 2024-04-14 00:46:35

记 n^2 的正约数为 d_1,d_2,d_3\dots d_m。求证

\sum_{i=1}^{i=m}\frac{1}{n+d_i}=\frac{m}{2n}

by 飞雨烟雁 @ 2024-04-14 09:14:14

@PorkSausage 即证：

\sum_{d|n^2}\dfrac{1}{n+d}=\dfrac{\sigma(n^2)}{2n}

作换元可知：

\sum_{d|n^2}\dfrac 1{n+d}=\sum_{d|n^2}\dfrac {1}{n+\frac {n^2}{d}}

把两个式子加在一起可知：

&=\frac 1n\sum_{d|n^2}\left(\dfrac n{n+d}+\dfrac {d}{d+n}\right)\\ &=\frac 1n\sum_{d|n^2}1\\ \end{aligned}

得证。

by 水星湖 @ 2024-04-14 10:31:50

@飞雨烟雁谢谢/bx/bx