一个计算概率分布的数学题

学术版

StudyingFather @ 2024-04-28 11:27:51

大概是在某个 QQ 群里用一个随机吐语录的 bot 的时候想到的这个问题。问题的形式化描述大概是这样的：

有一个黑盒，里面有 n 个小球，编号从 1 到 n。现在进行 m 次放回抽样，每次抽样抽到各个小球的概率相等（均为 \dfrac{1}{n}）。

将 m 次抽样的结果记录下来，汇总得到编号为 i 的小球一共抽中了 a_i 次。在已知抽样结果的前提下，我想要估算出 n 的值：

  1. 能否根据已有的抽样信息给出 n 的一个概率分布的表达式？
  2. 如果无法给出一个初等的概率分布表达式，能否计算出 n 的一个置信区间？

by MatrixGroup @ 2024-04-28 11:46:25

@StudyingFather n 一开始的分布是什么？（即，我们想要估算 \Pr(n=n_0|a_1,a_2,\cdots)，其中 n 在不含条件时的分布是什么？）

by StudyingFather @ 2024-04-28 11:52:25

@Anomynous

初始情况下认为 n 是在整个正整数集合上的均匀分布吧。

如果限定 n 在某个范围内会更好推导吗 /思考

by 破壁人五号 @ 2024-04-28 11:59:02

如果只给出一个 n 的估计的话，用最大似然估计是 n=\max i，用矩估计是 n = 2 \bar i - 1。

有 n 的先验分布的话，大概就可以贝叶斯公式算出来 n 的分布了？

by MatrixGroup @ 2024-04-28 12:02:30

@StudyingFather “整个正整数集合上的均匀分布”是什么/yun

by MatrixGroup @ 2024-04-28 12:05:49

是对 [1,N] 的均匀分布上求值后 N\to \infty 吗/yiw

by StudyingFather @ 2024-04-28 12:14:28

@Anomynous

是对 [1, N] 的均匀分布上求值后 N \to \infty 吗/yiw

是的。作为一位大三工科生，我可能不太能准确描述一些数学概念，还请见谅 /wq

by MatrixGroup @ 2024-04-28 12:33:08

设总共抽样了 A 次，最大抽样结果为 I。

则为 $n_0$ 的概率估计值为 $\dfrac{\dfrac{1}{n_0^A}}{\sum\limits_{j=I}^{+\infty}\dfrac{1}{j^A}}$。

by MatrixGroup @ 2024-04-28 12:33:56

（注意到当 A=1 时最终结果和为 0，因为概率分布的极限不一定是概率分布）

by StudyingFather @ 2024-04-28 13:10:01

@破壁人五号 @Anomynous

大概明白了，感谢解答！

by Sublimity @ 2024-04-28 13:35:39

qjm%%%

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