有关抛物线长度

学术版

AAA404 @ 2024-11-07 18:34:47

假如有抛物线 y=ax^2+bx+c，求 [m,n] 内抛物线长度。

我的思路：

考虑在 x 处的微分，\frac{\Delta y}{\Delta x}=2ax+b，所以 \Delta y=\Delta x(2ax+b)，勾股定理算出 \sqrt{(2ax+b)^2+1} \Delta x。

然后积分：

\int_{m}^{n} \sqrt{(2ax+b)^2+1} dx

换元，令 t=2ax+b，有：

^{\frac{n-b}{2a}} \sqrt{t^2+1}dt

计算器摁出来是：

^{\frac{n-b}{2a}}

后面有点丑。

求帮看下有没有错。

by Naszt @ 2024-11-07 19:54:05

应该没什么大问题，不过我觉得这么写更好：

\begin{aligned} y=&ax^2+bx+c\\ ds=&\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(y')^2}dx\\ \int_m^nds=&\int_m^n\sqrt{1+(2ax+b)^2}dx\\ =&\dots \end{aligned}

更一般的，你可以看一下曲线积分与曲面积分，一般我们是先写成参数方程的形式,我这里就懒得打了。

by Naszt @ 2024-11-07 21:11:06

@AAA404
求关注 QwQ

by AAA404 @ 2024-11-07 23:07:07

@Naszt thx，已关