[ABC149F] Surrounded Nodes

### 题目描述 给定一棵 $N$ 个节点的树 $T$ ，现在要给树上每个节点随机涂色，每个节点有 $\frac 1 2$ 的概率染成黑色， $\frac 1 2$ 的概率染成白色。对于一颗染过色的树，定义 $S$ 为包含树上所有被染成**黑色**的节点的，节点数**最小**的连通子图。定义 $S$ 的价值为 $S$ 中**白色**节点的个数。问 $S$ 的期望价值是多少。答案对 $10^9+7$ 取模。 ### 输入格式 第一行一个整数 $N$ ，表示树的节点个数。 接下来 $N-1$ 行，每行两个整数 $A_i,B_i$ ，表示 $A_i,B_i$ 之间存在一条边。 保证给的图一定是一颗树。 ### 输出格式 一个整数，表示 $S$ 的期望价值对 $10^9+7$ 取模的结果。 ### 数据范围 * $2\le N \le2\times 10^5$ * $1\le A_i,B_i\le N$

[problemUrl]: https://atcoder.jp/contests/abc149/tasks/abc149_f $ N $ 頂点の木 $ T $ が与えられます。$ i $ 番目の辺は頂点 $ A_i $ と $ B_i $ ($ 1\ \leq\ A_i,B_i\ \leq\ N $) を結びます。 $ T $ の各頂点を、それぞれ独立に確率 $ 1/2 $ で黒く、確率 $ 1/2 $ で白く塗り、黒く塗られた頂点を全て含むような $ T $ の最小の部分木 (連結な部分グラフ) を $ S $ とします。(黒く塗られた頂点がないときは、$ S $ は空グラフとします。) $ S $ の**穴あき度**を、$ S $ に含まれる白く塗られた頂点の個数とします。$ S $ の穴あき度の期待値を求めてください。 答えは有理数となるので、注記で述べるように $ \bmod\ 10^9+7 $ で出力してください。

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。 > $ N $ $ A_1 $ $ B_1 $ $ : $ $ A_{N-1} $ $ B_{N-1} $

$ S $ の穴あき度の期待値を $ \bmod\ 10^9+7 $ で出力せよ。

3
1 2
2 3

125000001

4
1 2
2 3
3 4

375000003

4
1 2
1 3
1 4

250000002

7
4 7
3 1
2 6
5 2
7 1
2 7

570312505

### 注記 有理数を出力する際は、まずその有理数を分数 $ \frac{y}{x} $ として表してください。ここで、$ x,y $ は整数であり、 $ x $ は $ 10^9+7 $ で割り切れてはなりません (この問題の制約下で、そのような表現は必ず可能です)。 そして、$ xz\ \equiv\ y\ \pmod{10^9+7} $ を満たすような $ 0 $ 以上 $ 10^9+6 $ 以下の唯一の整数 $ z $ を出力してください。 ### 制約 - $ 2\ \leq\ N\ \leq\ 2\ \times\ 10^5 $ - $ 1\ \leq\ A_i,B_i\ \leq\ N $ - 与えられるグラフは木である ### Sample Explanation 1 頂点 $ 1,2,3 $ の色がそれぞれ 黒,白,黒 となったとき、$ S $ の穴あき度は $ 1 $ です。 それ以外の塗り方では $ S $ の穴あき度は $ 0 $ であるため、穴あき度の期待値は $ 1/8 $ です。 $ 8\ \times\ 125000001\ \equiv\ 1\ \pmod{10^9+7} $ より、$ 125000001 $ を出力します。 ### Sample Explanation 2 期待値は $ 3/8 $ です。 $ 8\ \times\ 375000003\ \equiv\ 3\ \pmod{10^9+7} $ より、$ 375000003 $ を出力します。 ### Sample Explanation 3 期待値は $ 1/4 $ です。