AT_agc044_e [AGC044E] Random Pawn

你的目标是在接下来要进行的游戏中最大化期望收益。当游戏开始时，棋子（象棋棋子）会以等概率被放置在 $ \{1,2,\dots,N\} $ 中的某个位置 $ p $。这 $ N $ 个位置 $ 1,2,\dots,N $ 顺时针排列在圆周上，位置 $ 1 $ 的相邻位置是 $ N $ 和 $ 2 $。 游戏以回合制进行。在每一回合，你可以选择结束游戏并获得 $ A_p $ 美元（$ p $ 是当前棋子的位置），或者支付 $ B_p $ 美元继续游戏。如果选择继续游戏，棋子会以等概率移动到相邻的两个位置 $ p-1 $ 或 $ p+1 $（位置 $ 0 $ 视为位置 $ N $，位置 $ N+1 $ 视为位置 $ 1 $）。 最优策略下的期望收益是多少美元？ **注意**：“最优策略下的期望收益”定义为在保证游戏在有限回合内结束的策略下，期望收益的上界。

输入从标准输入中按以下格式给出。 > $ N $ $ A_1 $ $ A_2 $ $ \cdots $ $ A_N $ $ B_1 $ $ B_2 $ $ \cdots $ $ B_N $

请输出最优策略下的期望收益，输出一个实数。 只要输出的值与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 $ 10^{-10} $，即可视为正确。

## 限制 - $ 2 \le N \le 200,\!000 $ - $ 0 \le A_p \le 10^{12} $（$ p = 1,\ldots,N $） - $ 0 \le B_p \le 100 $（$ p = 1,\ldots,N $） - 输入中的所有数值均为整数。 由 ChatGPT 4.1 翻译