AT_arc223_d [ARC223D] Xpectation of Cards in Hand with Laboratory

现有 **特殊卡** $A$ 张、**普通卡** $B$ 张。 由这 $A+B$ 张卡片构成的全排列共有 $(A+B)!$ 种，等概率随机选出其中一种排列，按从上到下的顺序叠成牌堆。 先从牌堆顶部抽取 $K$ 张作为初始手牌。 若手牌中至少存在 $1$ 张**特殊卡**，就重复执行下述操作，否则停止操作： 1. 舍弃手牌中 $1$ 张**特殊卡**，被舍弃的卡片永久移出游戏，既不在手牌也不返回牌堆。 2. 设当前牌堆剩余卡片数为 $c$，从牌堆顶部取 $\min(c,2)$ 张卡牌加入手牌。 求最终手牌的卡片数量的数学期望，结果对 $998244353$ 取模。 共 $T$ 组测试用例，请全部求解。 > ##### 对于答案模 $998244353$ 的说明 > 本题保证所求期望值为有理数，可写作既约分数 $\dfrac{P}{Q}$，且分母 $Q$ 与模数 $998244353$ 互质。 > 我们需要求出唯一整数 $R$，满足： > $$R \times Q \equiv P \pmod{998244353},\quad 0 \le R < 998244353$$ > 请输出 $R$ 作为答案。

标准输入格式如下： > $T$ > > $\mathrm{case}_1$ > > $\mathrm{case}_2$ > > $\vdots$ > > $\mathrm{case}_T$ 每组测试用例 $\mathrm{case}_t$ 格式： > $A\ B\ K$

共输出 $T$ 行，第 $t$ 行输出第 $t$ 组用例的答案。

#### 样例说明 ###### 第一组测试用例： - 初始手牌中至少存在 $1$ 张特殊卡，此时牌堆中仅剩 $1$ 张卡牌； - 执行 $1$ 次操作后：手牌还剩 $1$ 张特殊卡、$2$ 张普通卡； - 再执行一次操作：手牌中无特殊卡，仅剩2张普通卡，停止操作。 - 最终手牌固定2张，期望为2。 ###### 第二组测试用例： - 初始抽1张牌。 - 抽到特殊卡：最终手牌2张； - 抽到普通卡：最终手牌1张。 - 总期望：$\dfrac{1}{3} \times 2 + \dfrac{2}{3} \times 1 = \dfrac{4}{3}$。 - $\dfrac{4}{3}$ 在模 $998244353$ 下等价于 $4 \times 3^{-1} \bmod 998244353 = 332748119$ #### 题目限制 - $1 \le T \le 10^5$ - $1 \le A,B$ - $1 \le K \le A+B \le 10^7$ - 所有测试用例的 $A+B$ 总和不超过 $10^7$ - 输入全部为整数