AT_utpc2023_m Majority and Permutation

给定一个长度为 $M$ 的整数序列 $(A_1,A_2,\dots,A_M)$，其中 $A_i$ 全部是 $1$ 到 $2N-1$ 之间的奇数。 请计算有多少个满足以下条件的 $(1,2,\dots,2N)$ 的排列 $P=(P_1,P_2,\dots,P_{2N})$，将结果对 $998244353$ 取模。 对于每个满足条件的排列 $P$，都存在一个只由字符 `0` 和 `1` 组成、长度为 $2N$ 的字符串 $S$，满足下列全部条件： - $S$ 是一个有 $N$ 个 `0` 和 $N$ 个 `1` 组成的字符串。 - 对于每个 $i=1,2,\dots,M$，$S$ 的前 $A_i$ 个字符中，`0` 的数量大于 `1`，即在这 $A_i$ 个字符里，`0` 的数量最多。 - 对于每个 $i=1,2,\dots,M$，在 $S$ 的第 $P_1,P_2,\dots,P_{A_i}$ 个字符中，`0` 的数量也最多。

输入通过标准输入提供，格式如下： > $N$ $M$ $A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_M$

输出一个整数，表示满足条件的排列数量对 $998244353$ 取模的结果。

### 样例解释 1 例如当 $P=(2,1,3,4)$ 时，选择 $S=0011$，可以满足全部三个条件。 另一方面，当 $P=(4,3,2,1)$ 时，不存在满足所有条件、长度为 $4$ 的字符串。 ### 数据范围 - 输入均为整数 - $1 \leq M \leq N \leq 10^{5}$ - $1 \leq A_1 < A_2 < \dots < A_M \leq 2N-1$ - $A_i$ 均为奇数。 由 ChatGPT 5 翻译