AT_xmascon23_b Beautiful Rotation

整数 $ A,B,C,D,E,F,G,H,I $ が与えられる． $ 3 $ 次元直交座標空間中の平行六面体 (の内部・境界の点集合) $ P $ は以下の $ 8 $ 点を頂点とする： - $ (0, 0, 0) $ - $ (A, B, C) $ - $ (D, E, F) $ - $ (A+D, B+E, C+F) $ - $ (G, H, I) $ - $ (A+G, B+H, C+I) $ - $ (D+G, E+H, F+I) $ - $ (A+D+G, B+E+H, C+F+I) $ $ P $ を一様ランダムに回転させたときの高さの期待値を求めよ． **一様ランダムに回転させる**とは，以下の手順による： 1. 単位球面上の点 $ u $ を通常の面積に従って一様に選ぶ． 2. $ v = (1,0,0) \times u $ とおく (クロス積)． $ v = (0,0,0) $ となる確率は $ 0 $ なので，以下そのような場合を無視する． 3. 原点と $ v $ を結ぶ直線を回転軸として，点 $ (1,0,0) $ を $ u $ へ移動させる回転を行う． 4. 原点と $ u $ を結ぶ直線を回転軸として， $ [0, 2\pi) $ から一様に選んだ角度ぶん回転させる． 点集合 $ Q $ の**高さ**とは， $ Z = \{z \mid \exists x, \exists y,\, (x,y,z) \in Q\} $ とおいたときの $ \max(Z) - \min(Z) $ と定義する．

入力は以下の形式で標準入力から与えられる． > $ A $ $ B $ $ C $ $ D $ $ E $ $ F $ $ G $ $ H $ $ I $

高さの期待値を小数として出力せよ．正しい値に対する絶対誤差または相対誤差が $ 10^{−9} $ 以下であれば許容される．

### Sample Explanation 1 各辺の長さが $ 1 $ の立方体を一様ランダムに回転させると，高さの期待値は $ 1.5 $ となる． ### Constraints - $ -10^3 \le A,B,C,D,E,F,G,H,I \le 10^3 $ ． - $ \det \begin{bmatrix} A&B&C \\ D&E&F \\ G&H&I \end{bmatrix} \ne 0 $ ．