AT_xmascon25_g Gon Pack

$ N $ を正整数とする． 集合 $ \{1, 2, \ldots, 2N\} $ の $ N $ 元集合 $ 2 $ 個への分割全体を $ \mathcal{P} $ とする． $ \lvert \mathcal{P} \rvert = \frac{1}{2} \binom{2N}{N} $ である．例えば， $ N = 3 $ のとき $ \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} \in \mathcal{P} $ である． $ 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} $ を満たす整数組 $ (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) $ に対し，**良い分割**とは， $ P \in \mathcal{P} $ であって，任意の $ I \in P $ に対し，辺の長さの集合が $ \{ a_i \mid i \in I \} $ となる非退化単純 $ N $ 角形が存在することとする．例えば， $ N = 3 $ のとき $ \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} $ が良い分割であるための条件は， $ a_1, a_5, a_6 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さかつ $ a_2, a_3, a_4 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さとなることである． $ N $ および， $ P \in \mathcal{P} $ が与えられる．良い分割がちょうど $ P $ のみであるような整数 $ 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} $ は存在するか？ - 存在するとき，そのような $ (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) $ であってさらに $ a_{2N} \le 10^{17} $ を満たすものが存在することが証明できる．これらすべてを満たす $ (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) $ を $ 1 $ つ求めよ． - 存在しないとき，次の条件を満たす非負整数 $ k $ と分割 $ Q_1, Q_2, \ldots, Q_k \in \mathcal{P} $ が存在するので，そのようなもののうち $ k $ が最小なものを $ 1 $ つ求めよ： - $ j = 1, 2, \ldots, k $ に対し， $ Q_j \ne P $ ． - 任意の $ 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} $ に対し， $ P $ が良い分割ならば， $ Q_1, Q_2, \ldots, Q_k $ のうち少なくとも $ 1 $ 個は良い分割である． 入出力において， $ \mathcal{P} $ の元は， $ N $ 個の `0` と $ N $ 個の `1` からなる**末尾が `1`** の文字列で表す．各文字種の index の集合が分割の各元を表す．例えば， $ N = 3 $ のとき $ \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} $ を `100011` で表す．

入力は以下の形式で標準入力から与えられる． > $ N $ $ P $

問題文中の $ 2 $ つの場合に応じて，以下のいずれかの形式で出力せよ． > YES $ a_1 $ $ a_2 $ $ \cdots $ $ a_{2N} $ > NO $ k $ $ Q_1 $ $ Q_2 $ $ \cdots $ $ Q_k $

### 部分点 - 制約を満たすすべての可能な入力データが $ 1 $ 個ずつ含まれる．各データについて，正解した場合は $ N $ 点が与えられる． ### Sample Explanation 1 $ P = \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} $ である． この出力例について， $ 2, 10, 11 $ は三角形の $ 3 $ 辺の長さとなり， $ 4, 6, 8 $ も三角形の $ 3 $ 辺の長さとなるので， $ P $ が良い分割になっている．他の分割が良い分割にならないこともわかる． ### Sample Explanation 2 $ P = \{ \{ 1, 4, 6 \}, \{ 2, 3, 5 \} \} $ である． 以下の $ 3 $ 個の条件 - $ 1 \le a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 $ - $ a_1, a_4, a_6 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さとなる - $ a_2, a_3, a_5 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さとなる が成り立つならば，以下の $ 2 $ 個の条件 - $ a_1, a_5, a_6 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さとなる - $ a_2, a_3, a_4 $ が三角形の $ 3 $ 辺の長さとなる が成り立つことがわかる． ### Constraints - $ 3 \le N \le 5 $ ．