B4131 [信息与未来 2014] 奇怪的车牌号

汽车的车牌号是一个 $8$ 位数，最高位可以为 $0$，所以车牌号范围为 $00000000$ 到 $99999999$。现在，有一辆汽车出了事故，驾驶员逃逸了。有三位目击者向警方提供了线索： - 甲：车牌号的前 $4$ 位是递增**且连续**的自然数，即 $0123,1234,\cdots,6789$； - 乙：车牌号的后 $4$ 位也是递增**且连续**的自然数； - 丙：车牌号的各位数字和是某个整数的平方。 例如，$01231234$ 就是一个满足以上条件的车牌号，因为：$0123,1234$ 均为递增的自然数，其各位数字和 $16$ 为 $4$ 的平方。 当然，满足上面的三个条件的车牌号还有许多，你的任务是求出所有满足条件的车牌号个数。

无

一个整数，即满足条件的车牌号的个数。