B4372 [GXPC-S 2025] 异或之力 / xor

题目来源：2025 年广西中小学生程序设计挑战赛复赛（进阶组[试题](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI3NDM3MzcwNQ==&mid=2247490166&idx=5&sn=e7ba7e3bc8126027b9abd662518c208b&chksm=ea9c06dd4d18206ed9d88124cc78b947298df2555889e98620204c2ea1471f58c135c00f99fb&mpshare=1&scene=23&srcid=0724dNJdhMxpUHag1dqkhiqL&sharer_shareinfo=7e47197d6e5c044ae705613db988029c&sharer_shareinfo_first=7e47197d6e5c044ae705613db988029c#rd)）。

传说中，只有能够将力量完美分解的勇者，才能获得王国中最强大的能量 —— 异或之力。 对于每一个 01 字符串都含有一定异或之力。假设某个 01 字符串所代表的十进制数为 $C$，当 $C \le 1$ 时异或之力为 $0$；当 $C > 1$ 时，将 $C$ 分解成任意两个正整数 $A$ 和 $B$ （$A > 0$，$B > 0$，$A + B = C$），得到 $A$ 异或 $B$ 的最大值为 $P$，异或最小值为 $Q$，异或之力即为 $P$ 和 $Q$ 的差值。 作为王国的继承者，你被赋予了一个正整数 $n$。你的任务是寻找所有长度为 $n$ 的 01 字符串（注意：字符串可含前导零，即 $(0011)_2$ 是合法的，与 $(11)_2$ 相同都代表着数字 3）中，最大异或之力是多少。这个数可能很大，请输出其对 $10^9 + 7$ 取模之后的结果。 异或运算（$\oplus$）：对于两个二进制数的每一位，如果相同则为 $0$，不同则为 $1$。例如，$6\oplus 3=(110)_2\oplus (011)_2=(101)_2=5$，$9\oplus 3=(1001)_2\oplus (0011)_2=(1010)_2=10$。

一行包含一个正整数 $n$，表示字符串的长度。

一个整数，表示最大异或之力对 $10^9 + 7$ 取模之后的结果。

#### 样例解释 长度为 3 的 01 字符有 111、110、101、100、011、010、001、000。 对于 $(110)_2$ 也就是 6 来说，当分解成 4 和 2 时取得异或最大值 6，当分解成 3 和 3 时取得最小异或值 0。没有其他情况使得最大与最小异或值差大于 6，故答案为 6。 #### 数据范围 - 对于 $20\%$ 的数据，$2 \le n < 10$； - 对于 $40\%$ 的数据，$2 \le n < 64$； - 对于 $60\%$ 的数据，$2 \le n \le 10^6$； - 对于 $100\%$ 的数据，$2 \le n \le 10^9$。