CF1096E The Top Scorer

Hasan 喜欢玩游戏，最近他发现了一款名为 TopScore 的游戏。在这款类似足球的游戏中，有 $p$ 名玩家进行点球大战。得分最多的玩家获胜。如果有多人并列最高分，则这些最高分玩家中会随机等概率选出一位作为获胜者。 比赛刚刚结束，现在大家都在等待结果。但有个小问题！裁判把记分纸弄丢了！幸运的是，他们在丢失前已经算出了总得分，并且对于部分玩家，他们还记得一个得分下界。不过这些下界信息是私密的，所以 Hasan 只知道自己的下界。 根据现有信息，他知道自己的得分至少为 $r$，所有人的总得分为 $s$。 因此，比赛的最终状态可以表示为一个 $p$ 元组 $a_1, a_2, \dots, a_p$（$0 \le a_i$）——即每位玩家的得分。Hasan 是第 $1$ 号玩家，所以 $a_1 \ge r$。并且 $a_1 + a_2 + \dots + a_p = s$。如果存在某个位置 $i$，使得 $a_i$ 在两种状态下不同，则这两种状态被认为是不同的。 Hasan 并不知道具体的得分情况（他甚至不知道自己的具体得分）。因此，他认为每一种可能的最终状态出现的概率都是相等的。 请你帮助 Hasan 计算他获胜的概率。 可以证明，这个概率可以表示为 $\frac{P}{Q}$，其中 $P$ 和 $Q$ 是非负整数，$Q \ne 0$，$P \le Q$。请输出 $P \cdot Q^{-1} \bmod {998244353}$。

一行包含三个整数 $p$、$s$ 和 $r$（$1 \le p \le 100$，$0 \le r \le s \le 5000$），分别表示玩家人数、总得分以及 Hasan 的得分下界。

输出一个整数，表示 Hasan 获胜的概率。 可以证明，这个概率可以表示为 $\frac{P}{Q}$，其中 $P$ 和 $Q$ 是非负整数，$Q \ne 0$，$P \le Q$。请输出 $P \cdot Q^{-1} \bmod {998244353}$。

在第一个样例中，Hasan 可能进 $3$、$4$、$5$ 或 $6$ 个球。如果他进了 $4$ 个或更多球，他就比唯一的对手进球多。如果他进了 $3$ 个球，对手也进了 $3$ 个球，这时 Hasan 有 $\frac{1}{2}$ 的概率获胜。因此，他最终获胜的概率是 $\frac{7}{8}$。 在第二个样例中，即使 Hasan 的进球下界，也意味着他比其他任何对手都多进球。因此，结果概率为 $1$。 由 ChatGPT 4.1 翻译