CF1578F Framing Pictures

在金星上发现了生命！更令人惊奇的是，这些生命体的形状竟然是凸多边形。一个国际联盟正在设计探测器前往金星拍摄这些生命体的照片，但他们需要估算将照片传回地球所需的带宽。 当探测器拍摄到生命体并准备将照片传回地球时，所需的带宽与包围盒的面积成正比（即包含该生命体的最小轴对齐矩形的面积）。已知这些生命体的形状和大小，但它们相对于相机的朝向是随机的。因此，你需要计算在所有可能朝向下，包围盒面积的期望值（平均值）。

输入描述了一个生命体的形状，即一个二维凸多边形。 第一行包含一个整数 $n$（$3 \le n \le 200\,000$），表示顶点数。接下来的 $n$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $y$（$-10^9 \le x, y \le 10^9$），表示一个顶点的坐标。顶点按逆时针顺序给出，且任意三点不共线。

输出一行，表示该多边形包围盒面积的期望值。你的答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-6}$。

下图展示了示例生命体及其在不同相机朝向下的包围盒。   由 ChatGPT 4.1 翻译