CF1614D2 Divan and Kostomuksha (hard version)

这是该问题的困难版本。唯一的区别在于 $a_i$ 的最大值。 在 Kostomuksha，Divan 发现了一个由正整数组成的数组 $a$。现在他想要重新排列 $a$ 的元素，使下列函数的值最大： $$ \sum_{i=1}^n \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_i), $$ 其中 $\operatorname{gcd}(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ 表示整数 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 的[最大公约数](https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor)，且对于任意整数 $x$，有 $\operatorname{gcd}(x) = x$。 重新排列数组元素意味着可以任意改变数组中元素的顺序，也可以保持初始顺序不变。 当然，Divan 能解决这个问题。但他觉得这个问题很有趣，所以决定把它分享给你。

第一行包含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 10^5$）——数组 $a$ 的大小。 第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n$（$1 \le a_i \le 2 \cdot 10^7$）——数组 $a$。

输出通过重新排列数组 $a$ 后可以获得的该函数的最大值。

在第一个样例中，最优的排列方式是 $[6,\, 2,\, 2,\, 2,\, 3,\, 1]$： $\operatorname{gcd}(a_1) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) + \operatorname{gcd}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5,\, a_6) = 6 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 14$。 可以证明无法得到更优的答案。 在第二个样例中，最优的排列方式是 $[100,\, 10,\, 10,\, 5,\, 1,\, 3,\, 3,\, 7,\, 42,\, 54]$。 由 ChatGPT 4.1 翻译