CF1717E Madoka and The Best University

Madoka 想要进入“Novosibirsk State University”，但在入学考试中她遇到了一个非常困难的问题： 给定一个整数 $n$，要求计算 $\sum{\operatorname{lcm}(c, \gcd(a, b))}$，其中所有的三元组 $(a, b, c)$ 都是正整数，且 $a + b + c = n$。 在本题中，$\gcd(x, y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 的[最大公约数](https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor)，$\operatorname{lcm}(x, y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 的[最小公倍数](https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple)。 请帮助 Madoka 解决这个问题，助她进入最好的大学！

输入仅一行，包含一个整数 $n$（$3 \le n \le 10^5$）。

输出一个整数，表示 $\sum{\operatorname{lcm}(c, \gcd(a, b))}$ 的值。由于答案可能非常大，请输出对 $10^9 + 7$ 取模后的结果。

在第一个样例中，只有一个满足条件的三元组 $(1, 1, 1)$。所以答案为 $\operatorname{lcm}(1, \gcd(1, 1)) = \operatorname{lcm}(1, 1) = 1$。 在第二个样例中，$\operatorname{lcm}(1, \gcd(3, 1)) + \operatorname{lcm}(1, \gcd(2, 2)) + \operatorname{lcm}(1, \gcd(1, 3)) + \operatorname{lcm}(2, \gcd(2, 1)) + \operatorname{lcm}(2, \gcd(1, 2)) + \operatorname{lcm}(3, \gcd(1, 1)) = \operatorname{lcm}(1, 1) + \operatorname{lcm}(1, 2) + \operatorname{lcm}(1, 1) + \operatorname{lcm}(2, 1) + \operatorname{lcm}(2, 1) + \operatorname{lcm}(3, 1) = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 = 11$。 由 ChatGPT 4.1 翻译