CF1747E List Generation

对于给定的整数 $n$ 和 $m$，我们称一对整数数组 $a$ 和 $b$ 是“好”的，如果它们满足以下条件： - $a$ 和 $b$ 的长度相同，记为 $k$。 - $k \ge 2$ 且 $a_1 = 0, a_k = n, b_1 = 0, b_k = m$。 - 对于每个 $1 < i \le k$，都有：$a_i \geq a_{i - 1}$，$b_i \geq b_{i - 1}$，且 $a_i + b_i \neq a_{i - 1} + b_{i - 1}$。 请计算所有“好”数组对 $(a, b)$ 的 $|a|$（即长度 $k$）之和。由于答案可能很大，请输出对 $10^9 + 7$ 取模后的结果。

输入包含多组测试用例。第一行包含一个整数 $t$ $(1 \leq t \leq 10^4)$，表示测试用例的数量。接下来每个测试用例一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$ $(1 \leq n, m \leq 5 \cdot 10^6)$。 保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $5 \cdot 10^6$，$m$ 的总和不超过 $5 \cdot 10^6$。

对于每个测试用例，输出一个整数，表示所有“好”数组对 $(a, b)$ 的长度之和，对 $10^9 + 7$ 取模。

在第一个测试用例中，所有“好”数组对为： - $([0, 1], [0, 1])$，长度为 $2$。 - $([0, 1, 1], [0, 0, 1])$，长度为 $3$。 - $([0, 0, 1], [0, 1, 1])$，长度为 $3$。 因此长度之和为 $2 + 3 + 3 = 8$。 由 ChatGPT 4.1 翻译