CF1770C Koxia and Number Theory

Joi 有一个包含 $n$ 个正整数的数组 $a$。Koxia 想让你判断是否存在一个正整数 $x > 0$，使得对于所有 $1 \leq i < j \leq n$，都有 $\gcd(a_i+x, a_j+x) = 1$。 这里 $\gcd(y, z)$ 表示整数 $y$ 和 $z$ 的最大公约数。

每组测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 100$），表示测试用例的数量。接下来是每个测试用例的描述。 每个测试用例的第一行包含一个整数 $n$（$2 \leq n \leq 100$），表示数组的大小。 每个测试用例的第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$1 \leq a_i \leq 10^{18}$）。 保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $1000$。

对于每个测试用例，如果存在正整数 $x$ 使得对于所有 $1 \leq i < j \leq n$，都有 $\gcd(a_i+x, a_j+x)=1$，输出 "YES"（不含引号）；否则输出 "NO"（不含引号）。 你可以用任意大小写输出答案。例如，"yEs"、"yes"、"Yes" 和 "YES" 都会被识别为肯定回答。

在第一个测试用例中，我们可以取 $x = 4$。这是合法的，因为： - 当 $i=1$ 且 $j=2$ 时，$\gcd(a_i+x, a_j+x)=\gcd(5+4,7+4)=\gcd(9,11)=1$。 - 当 $i=1$ 且 $j=3$ 时，$\gcd(a_i+x, a_j+x)=\gcd(5+4,10+4)=\gcd(9,14)=1$。 - 当 $i=2$ 且 $j=3$ 时，$\gcd(a_i+x, a_j+x)=\gcd(7+4,10+4)=\gcd(11,14)=1$。 在第二个测试用例中，无论选择什么 $x$，都有 $\gcd(a_1 + x, a_2 + x) = \gcd(3+x,3+x)=3+x$。因此，不存在这样的 $x$。 由 ChatGPT 4.1 翻译