CF1776K Uniform Chemistry

在一个平行宇宙中，有 $n$ 种化学元素，编号从 $1$ 到 $n$。目前编号为 $n$ 的元素尚未被发现，谁能发现它，将成为科研的巅峰，并获得永恒的荣誉和所谓的 SWERC 奖。 有 $m$ 位独立的研究员，编号从 $1$ 到 $m$，他们都在尝试发现该元素。目前，第 $i$ 位研究员手中有编号为 $s_i$ 的元素样本。每年，每位研究员都会独立进行一次融合实验。在一次融合实验中，如果研究员当前拥有元素 $a$ 的样本，他会随机等概率地获得 $a+1$ 到 $n$ 之间的某一个元素 $b$ 的样本，并失去 $a$ 的样本。不同研究员或不同年份发现的元素完全独立。 第一个发现元素 $n$ 的研究员将获得 SWERC 奖。如果有多位研究员在同一年发现该元素，他们都将获得该奖项。对于每个 $i=1,2,\dots,m$，你需要计算第 $i$ 位研究员获得 SWERC 奖的概率。

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$（$2 \le n \le 10^{18}$，$1 \le m \le 100$），分别表示元素的数量和研究员的数量。 第二行包含 $m$ 个整数 $s_1, s_2, \dots, s_m$（$1 \le s_i < n$），表示每位研究员当前拥有的元素编号。

输出 $m$ 个浮点数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 位研究员获得 SWERC 奖的概率。每个答案与标准答案的误差不超过 $10^{-8}$ 即可。

在第一个样例中，所有研究员都会在第一年发现元素 $2$，并获得 SWERC 奖。 在第二个样例中，最后一位研究员一定会在第一年发现元素 $3$ 并获得 SWERC 奖。前两位研究员有 $50\%$ 的概率发现元素 $2$，有 $50\%$ 的概率发现元素 $3$，只有发现元素 $3$ 才能获得奖项。 在第三个样例中，每位研究员第一年独立有 $50\%$ 的概率发现元素 $3$，此时他们一定能获得奖项。此外，如果他们第一年都发现元素 $2$（概率为 $12.5\%$），那么第二年他们都会发现元素 $3$，并都能获得奖项。 由 ChatGPT 4.1 翻译