CF1784D Wooden Spoon

有 $2^n$ 名选手，编号为 $1$ 到 $2^n$ 的不同整数，正在进行一场单败淘汰赛。比赛的对阵表是一棵高度为 $n$ 的满二叉树，共有 $2^n$ 个叶子节点。 每当两名选手在一场比赛中相遇时，编号较小的选手总是获胜。最终的冠军是连续赢下 $n$ 场比赛的选手。 有一个虚拟安慰奖“木勺奖”（Wooden Spoon），它会颁发给满足以下 $n$ 个条件的选手： - 他们在第一场比赛中输掉了； - 打败他们的选手在第二场比赛中输掉了； - 打败那位选手的选手在第三场比赛中输掉了； - $\ldots$； - 上一条件中被打败的选手在决赛中输掉了。 可以证明，总是恰好有一名选手满足这些条件。 考虑所有可能的 $ (2^n)! $ 种选手排列方式。对于每位选手，求出在多少种排列下他们会获得“木勺奖”，并将这些数对 $998\,244\,353$ 取模后输出。

一行一个整数 $n$（$1 \le n \le 20$），表示比赛的规模。 本题共有 $20$ 组测试数据：第 $1$ 组 $n=1$，第 $2$ 组 $n=2$，$\ldots$，第 $20$ 组 $n=20$。

输出 $2^n$ 个整数，依次表示编号为 $1,2,\ldots,2^n$ 的选手获得“木勺奖”的排列数，对 $998\,244\,353$ 取模后的结果。

在第一个样例中，“木勺奖”总是颁发给选手 $2$。 在第二个样例中，有 $8$ 种排列使得选手 $1$ 和 $4$ 在第一场比赛中相遇，在这些情况下，“木勺奖”颁发给选手 $3$。在剩下的 $16$ 种排列中，“木勺奖”颁发给选手 $4$。 由 ChatGPT 4.1 翻译