CF1954D Colored Balls

有 $n$ 种不同颜色的球，第 $i$ 种颜色的球有 $a_i$ 个。 这些球可以被组合成若干组。每组最多包含 $2$ 个球，并且每组中每种颜色的球最多只能有 $1$ 个。 考虑所有 $2^n$ 种颜色集合。对于某个颜色集合，定义其值为用这些颜色的球能分成的最少组数。例如，若有三种颜色，球的数量分别为 $3$、$1$ 和 $7$，则这些球最少能组合成 $7$ 组（且不能更少），所以该颜色集合的值为 $7$。 你的任务是计算所有 $2^n$ 种颜色集合的值之和。由于答案可能很大，请输出其对 $998\,244\,353$ 取模的结果。

第一行包含一个整数 $n$（$1 \le n \le 5000$），表示颜色的数量。 第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$1 \le a_i \le 5000$），表示第 $i$ 种颜色的球的数量。 输入的额外限制：所有球的总数不超过 $5000$。

输出一个整数，表示所有 $2^n$ 种颜色集合的值之和，对 $998\,244\,353$ 取模。

考虑第一个样例。共有 $8$ 个颜色集合： - 空集，值为 $0$； - 集合 $\{1\}$，值为 $1$； - 集合 $\{2\}$，值为 $1$； - 集合 $\{3\}$，值为 $2$； - 集合 $\{1,2\}$，值为 $1$； - 集合 $\{1,3\}$，值为 $2$； - 集合 $\{2,3\}$，值为 $2$； - 集合 $\{1,2,3\}$，值为 $2$。 因此，所有 $2^n$ 种颜色集合的值之和为 $11$。 由 ChatGPT 4.1 翻译