CF2038M Royal Flush

考虑如下游戏。有一副牌，由 $n$ 种花色的牌组成。每种花色有 $13$ 张牌，且每张牌的点数都不同（点数分别为 $2$、$3$、$4$、...、$10$、J、Q、K、A）。 最开始，整副牌被随机洗牌（所有 $ (13n)! $ 种排列的概率相同）。你从牌顶抽取 $5$ 张牌。然后，每一轮游戏按如下顺序进行： 1. 如果你手中的牌构成了皇家同花顺（即同一花色的 $10$、J、Q、K、A），你获胜，游戏结束； 2. 如果你还没有获胜，且牌堆已经空了，你失败，游戏结束； 3. 如果游戏还未结束，你可以选择手中任意数量的牌（可以全部），将其弃掉。弃掉的牌会被移出游戏； 4. 最后，你从牌堆中补牌，直到手牌数达到 $5$ 张，或牌堆为空为止。 你的目标是找到一种策略，使你在期望轮数最少的情况下获胜。注意，游戏结束的那一轮不计入轮数（例如，如果你初始牌就已经是皇家同花顺，则你在 $0$ 轮内获胜）。 计算获胜所需的最小期望轮数。

仅一行，包含一个整数 $n$（$1 \le n \le 4$），表示游戏中使用的花色数。

输出获胜所需的最小期望轮数。 你的答案将被认为是正确的，当且仅当其绝对误差或相对误差不超过 $10^{-6}$。形式化地，设你的答案为 $a$，标准答案为 $b$，则当且仅当 $ \frac{|a - b|}{\max{(1, |b|)}} \le 10^{-6} $ 时你的答案会被接受。

由 ChatGPT 4.1 翻译