CF2125E Sets of Complementary Sums

我们称整数集合 $Q$ 为“互补和集合”，如果它可以通过以下操作获得： - 选择一个由 $m$ 个正整数组成的数组 $a$（$m$ 可以是任意正整数）； - 计算数组 $a$ 所有元素的和 $s$； - 对于数组中的每个元素 $a_i$，将 $s - a_i$ 加入集合 $Q$，更正式地说，集合 $Q = \{s - a_i \mid 1 \le i \le m\}$。 注意，$Q$ 不是多重集，也就是说其中的每个数都是唯一的。例如，如果选择数组 $a = [1, 3, 3, 7]$，那么 $s = 14$，$Q = \{7, 11, 13\}$。 你的任务是计算满足以下条件的不同“互补和集合”的数量： - 集合恰好包含 $n$ 个元素； - 集合中的每个元素都是 $1$ 到 $x$ 之间的整数。 如果存在某个元素属于第一个集合但不属于第二个集合，则认为这两个集合不同。 由于答案可能非常大，请输出对 $998\,244\,353$ 取模的结果。

每组测试数据包含若干组测试用例。第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 10^{4}$），表示测试用例的数量。接下来每组测试用例一行，包含两个整数 $n$ 和 $x$（$1 \le n, x \le 2 \cdot 10^{5}$）。 输入数据的额外限制： - 所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $2 \cdot 10^{5}$； - 所有测试用例中 $x$ 的总和不超过 $2 \cdot 10^{5}$。

对于每组测试用例，输出一个整数，表示满足条件的“互补和集合”的数量，对 $998\,244\,353$ 取模。

对于第一个测试用例，恰好有 $7$ 个符合条件的集合： $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}, \{7\}$。 对于第二个测试用例，恰好有 $10$ 个符合条件的集合： $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}$。 由 ChatGPT 4.1 翻译