CF2180H2 Bug Is Feature (Conditional Version)

这是该题的条件版本。这个版本与原问题的主要区别在于，“公差不减”这一条件的存在。只有你完成了所有版本的题目后，才能进行 Hack 操作。 请注意，这两个版本并不必然哪个更容易，并且它们可以独立地进行求解。 Bug 和 Feature 正沉浸在一种名为 Sequence 的游戏中。在这个独特版本的 Sequence 游戏中，游戏以三个正整数 $a < b < c \le x$ 开始，并且三者构成一个等差数列（即 $b-a=c-b$）。每当轮到玩家时，可以选择将 $a$、$b$ 或 $c$ 的其中一个增加一个正整数。操作后，三个数仍需保持等差数列（可能顺序会变化），且新的公差不能小于之前的公差。此外，$a$、$b$、$c$ 均不能超过 $x$。 Bug 和 Feature 并不满足与常规的 Sequence 游戏，于是他们决定同时玩 $n$ 组 Sequence 游戏。对于第 $i$ 组游戏，给定五个数 $a_i < b_i < c_i \le l_i \le r_i$。对于每一个 $x \in [l_i, r_i]$，他们要玩一个以 $a_i < b_i < c_i \le x$ 为初始状态的游戏（一共要玩 $\sum_{i=1}^n (r_i - l_i + 1)$ 个游戏）。两人交替进行所有这些游戏的回合，Bug 先手，然后 Feature。每回合，玩家选择任意一个未结束的游戏执行一次有效操作。无法进行操作的一方视为失败。 那么，若两人均以最优策略博弈，最终谁会获得胜利？

每个测试用例包含多组数据。第一行包含整数 $t$（$1 \le t \le 10^5$），表示测试用例的数量。 每个测试用例的第一行是一个整数 $n$（$1 \le n \le 2 \times 10^5$），表示 Bug 和 Feature 要玩的游戏组数。 接下来的 $n$ 行，每行包含五个整数 $a_i, b_i, c_i, l_i, r_i$（$1 \le a_i < b_i < c_i \le l_i \le r_i \le 10^{18}$），表示第 $i$ 组游戏的参数。$a_i$、$b_i$、$c_i$ 形成等差数列（即 $c_i-b_i=b_i-a_i$）。 所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2 \times 10^5$。

对于每组测试数据，输出一行，若 Bug 获胜则输出 $\mathtt{Bug}$，否则输出 $\mathtt{Feature}$。

在第一个样例中，游戏一开始就没有合法的操作。因此，Bug 无法进行任何操作，Feature 立即获胜。 在第二个样例中，有 $3$ 个实例游戏，分别对应 $x=8,9,10$。每个实例初始序列均为 $2,\ 4,\ 6$。 Bug 可以这样取得胜利： 1. 针对 $x=10$ 的实例，Bug 将 $b$ 从 $4$ 增加到 $10$，此时序列变为 $2,6,10$。此时这个实例已经无法进行更多操作。 2. 下一步 Feature 必须从剩余的两个实例中选择一个，将 $a$ 从 $2$ 增加到 $8$（无论是 $x=8$ 还是 $x=9$ 的游戏）。 3. 无论 Feature 选择哪一个，Bug 都可以在另外一个实例中也将 $a$ 变为 $8$。此时这个实例也变为无法再操作的状态。 这样，所有的实例都进入了无法进行操作的状态，从而确保了 Bug 的胜利。 由 ChatGPT 5 翻译