CF2217F Interval Game

Alice 和 Bob 正在玩一个涉及两个区间 $[l_1, r_1]$ 和 $[l_2, r_2]$ 的游戏，这两个区间分别受整数 $x_1$ 和 $x_2$ 的约束。区间满足 $1 \le l_1 \le r_1 \le x_1$ 且 $1 \le l_2 \le r_2 \le x_2$。 游戏规则如下。在一次回合中，玩家必须选择两个区间之一（记为第 $i$ 个区间 $[l_i, r_i]$），执行下列操作之一： - 用一个严格更小的整数 $l'_i$ 替换 $l_i$，使得 $1 \le l'_i < l_i$。 - 用一个严格更大的整数 $r'_i$ 替换 $r_i$，使得 $r_i < r'_i \le x_i$。 不能进行有效操作的玩家输掉游戏。游戏的设定分两步进行： 1. 首先，Alice 选择 $l_1$ 和 $r_1$ 的取值来确定第一个区间，要求该区间在 $[1, x_1]$ 范围内合法。 2. 然后，第二个区间 $[l_2, r_2]$ 在所有合法的 $[1, x_2]$ 区间中等概率随机选择。 选择好两个区间后，由 Alice 先手。 假设双方都采取最优策略，Alice 希望选择初始区间 $[l_1, r_1]$，以使自己获胜的概率最大。你的任务是为她找出这样一个区间。如果存在多个最优区间，你可以输出任意一个。

每个测试点包含多个测试用例。第一行包含测试用例数量 $t$（$1 \le t \le 10^4$）。 每个测试用例的一行包含两个整数 $x_1$ 和 $x_2$（$1 \le x_1, x_2 \le 5 \cdot 10^5$），即两个区间的上界。 保证所有测试用例中 $x_1$ 之和不超过 $5 \cdot 10^5$。 保证所有测试用例中 $x_2$ 之和不超过 $5 \cdot 10^5$。

对于每个测试用例，输出两个整数 $l_1$ 和 $r_1$（$1 \le l_1 \le r_1 \le x_1$），即 Alice 选择的最优区间。 如果存在多个最优区间，你可以输出其中任意一个。

对于第一个测试用例，Alice 只能选择 $[1, 1]$，因为这是唯一的合法选择。 对于第三个测试用例，如果 Alice 选择 $[2, 2]$，她一定能获胜（概率 $1$）；她可以将 $l_1$ 替换为 $1$，此后 Bob 无法再进行合法操作。注意 $[1, 1]$ 也是一个合法且必胜的答案。 对于第四个测试用例，如果 Alice 选择 $[1, 2]$，她能达到 $2/3$ 的胜率；反之如果选择 $[1, 1]$ 或 $[2, 2]$，胜率只有 $1/3$。 由 ChatGPT 5 翻译