CF819C Mister B and Beacons on Field

B 先生的房子坐落在一片巨大的平原正中，这吸引了外星生命的注意。为方便起见，外星人在这片平原上设立了笛卡尔坐标系，使得 B 先生的房子位于坐标 $ (0,0) $。之后他们向平原发射了三个信标，但出现了意外。其中一个信标被完全摧毁，而另外两个分别落在了坐标 $ (m,0) $ 和 $ (0,n) $ 的位置，但都已关闭。 B 先生对这些设备很感兴趣，于是决定把它们带回家。他首先来到第一个信标 $ (m,0) $ 处，将其拾起，并选择最短路径将其带回家。之后他又来到另一个信标 $ (0,n) $ 处，同样选择最短路径将其带回家。当第一个信标被拾起时，信标的导航系统被激活。 部分损坏的导航系统按照如下方式工作： 在两个尚存信标都位于整点坐标的时刻，系统尝试寻找第三个信标的位置。当且仅当存在一个整点坐标，使得由这两枚信标及该点组成的三角形面积恰好为 $ s $ 时，系统会向外星人发送一份信标位置的消息包，否则不发送。 请计算在 B 先生移动信标期间，系统总共发出了多少份消息包。

第一行包含一个整数 $ t $（$1 \leq t \leq 1000$），表示测试用例数量。接下来 $3 \cdot t$ 行描述 $ t $ 组测试数据。 每组测试数据由以下三行组成（注意每个参数均为三个因子的乘积形式）： 第一行包含三个用空格分隔的整数：$ n_{1} $、$ n_{2} $、$ n_{3} $（$1 \leq n_{i} \leq 10^{6}$），使得 $ n = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 $。 第二行包含三个用空格分隔的整数：$ m_{1} $、$ m_{2} $、$ m_{3} $（$1 \leq m_{i} \leq 10^{6}$），使得 $ m = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 $。 第三行包含三个用空格分隔的整数：$ s_{1} $、$ s_{2} $、$ s_{3} $（$1 \leq s_{i} \leq 10^{6}$），使得 $ s = s_1 \cdot s_2 \cdot s_3 $。 注意，对于卡题数据，只有 $ t=1 $ 的情况是被允许的。

输出 $ t $ 行，每行一个整数，表示每组测试数据的答案。

第一个测试点有如下信标位置：$ (2,0) $ 和 $ (0,2) $，$ s=3 $。可能发送的数据包有：$ ((2,0),(0,2),(-1,0)) $，$ ((1,0),(0,2),(4,0)) $，$ ((0,0),(0,2),(3,1)) $，$ ((0,0),(0,1),(-6,0)) $，其中 $ (b_{1},b_{2},p) $ 的含义是：$ b_{1} $——第一个信标的位置，$ b_{2} $——第二个信标的位置，$ p $——某个生成的新点。 第二个测试点有如下信标初始位置：$ (4,0) $ 和 $ (0,5) $，$ s=2 $。可能发送的数据包有：$ ((4,0),(0,5),(0,4)) $，$ ((3,0),(0,5),(2,3)) $，$ ((2,0),(0,5),(2,2)) $，$ ((1,0),(0,5),(1,4)) $，$ ((0,0),(0,4),(0,-1)) $，$ ((0,0),(0,2),(2,0)) $，$ ((0,0),(0,1),(4,0)) $。 由 ChatGPT 5 翻译