CF868G El Toll Caves

埃尔·托尔史前洞穴位于莫亚（巴塞罗那）。你听说在洞穴中的 $n$ 个可能位置之一隐藏着一件宝藏。你认为每个位置包含宝藏的概率都是 $1/n$。 你无法亲自进入洞穴，于是你制造了一个机器人来帮你在洞穴中寻找宝藏。每天你可以指示机器人访问洞穴中恰好 $k$ 个不同的位置。如果这些位置都没有宝藏，显然机器人会空手而归。然而，洞穴里很黑，即使机器人访问到了正确的位置，也有可能错过宝藏。具体来说，如果所访问的位置中包含宝藏，机器人以 $1/2$ 的概率找到宝藏，否则将空手而归。每当机器人在含有宝藏的位置搜索时，其成功找到宝藏的概率都是独立的（即，若已在正确位置搜索了 $x$ 次，仍未发现宝藏的概率为 $1/2^x$）。 如果你为机器人选择最优的搜索计划，获得宝藏所需的期望天数是多少？请输出答案对 $10^9+7$ 取模的分数形式。更具体地说，设答案为最简分数 $P/Q$，你需要输出 $P \times Q^{-1} \bmod 10^9+7$，其中 $Q^{-1}$ 表示 $Q$ 关于 $10^9+7$ 的乘法逆元。保证 $Q$ 不被 $10^9+7$ 整除。

第一行包含测试用例数量 $T$（$1 \leq T \leq 1000$）。 接下来 $T$ 行，每行包含两个整数 $n$ 和 $k$（$1 \leq k \leq n \leq 5 \times 10^8$）。

对于每个测试用例，在单独的一行输出答案。

在第一个样例中，机器人会反复搜索唯一的位置。此时期望天数为 2。注意，即使我们一开始就知道了宝藏的位置，机器人也必须不断在那里搜索直到成功发现宝藏。 在第二个样例中，如果轮流搜索两个位置，答案可以证明为 $7/2$。在第三个样例中，答案是 $25/9$。 由 ChatGPT 5 翻译