CF923E Perpetual Subtraction

最初黑板上写有一个数字 $x$。你需要重复以下操作若干次： 1. 取下当前黑板上的数字 $x$ 并擦除； 2. 从区间 $[0,x]$（包含 $x$）中均匀随机选择一个整数，并将其写在黑板上。 给定初始数字的概率分布和操作次数，求经过 $M$ 次操作后，最终数字的概率分布。

第一行包含两个整数 $N$（$1 \le N \le 10^{5}$）——黑板上可能写下的最大数字，以及 $M$（$0 \le M \le 10^{18}$）——需要执行的操作次数。 第二行包含 $N+1$ 个整数 $P_{0},P_{1},...,P_{N}$（$0 \le P_{i} < 998244353$），其中 $P_{i}$ 表示初始数字为 $i$ 的概率。若概率为最简分数 $P/Q$，则 $P_{i} \equiv P Q^{-1} \pmod{998244353}$。保证所有 $P_{i}$ 之和模 $998244353$ 等于 $1$。

输出一行共 $N+1$ 个整数，第 $i$ 个数 $R_{i}$ 表示经过 $M$ 次操作后最终数字为 $i$ 的概率。概率可表示为最简分数 $P/Q$，你需要输出 $R_{i} \equiv P Q^{-1} \pmod{998244353}$。

在第一个样例中，初始数字为 $2$。经过一次操作后，最终数字为 $0$、$1$ 或 $2$ 的概率均为 $1/3$。 在第二个样例中，数字保持为 $2$ 的概率为 $1/9$。有 $1/9$ 的概率第一次保持为 $2$，第二次变为 $1$，有 $1/6$ 的概率第一次变为 $1$，第二次保持为 $1$。其余情况下最终数字为 $0$。 由 ChatGPT 4.1 翻译