CF963E Circles of Waiting

有一个棋子被放置在带有坐标系的平面上的点 $(0,0)$。 每秒钟，棋子会随机移动一次。如果棋子当前在点 $(x,y)$，那么它有概率 $p_{1}$ 移动到点 $(x-1,y)$，有概率 $p_{2}$ 移动到点 $(x,y-1)$，有概率 $p_{3}$ 移动到点 $(x+1,y)$，有概率 $p_{4}$ 移动到点 $(x,y+1)$。保证 $p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}=1$。每次移动都是独立的。 请你求出棋子离开原点距离大于 $R$（即满足 $x^2+y^2>R^2$）所需的期望时间。

第一行包含五个整数 $R,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$（$0\leq R\leq 50,1\leq a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\leq 1000$）。 概率 $p_{i}$ 可以通过公式 $p_{i} = \frac{a_{i}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}$ 计算得到。

可以证明本题的答案总是一个形如 $\frac{P}{Q}$ 的有理数，其中 $Q$ 与 $10^9+7$ 互质。 请输出 $P\cdot Q^{-1} \bmod 10^9+7$。

在第一个样例中，棋子初始时距离原点为 $0$。一秒后，棋子会向某个方向移动到距离为 $1$ 的位置，因此到原点的距离变为 $1$。 第二个和第三个测试点的答案分别为 $\frac{7}{2}$ 和 $\frac{25}{6}$。 由 ChatGPT 4.1 翻译