P10213 [CTS2024] 多方计算
题目背景
## 滥用本题评测将被封号
**特别注意**：为了能够正常评测，请删去代码开头的 `#include "mpc.h"` 并加入以下代码段：
```cpp
#include
struct player{
bool last_message;
std::array memory;
};
int precalc(int n, int m);
bool transmit(player &player, int round, int position);
```
题目描述
**这是一道交互题。**
有 $n+1$ 个人，由 $0$ 至 $n$ 编号。第 $i(0 \le i \le n-1)$ 个人有一个 $[0,2^m-1]$ 之间的整数 $a_i$。
编号为 $n$ 的人希望知道 $a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}$ 的值。为此，他们可以进行如下通讯：
1. 首先，选定通讯的秒数 $N$。
2. 接下来的 $N$ 秒中的每一秒，所有 $i(0 \le i \le n-1)$ **同时**向 $(i+1)$ 发送一个比特的信息。
- 该消息会在下一秒开始前收到。特别地，最后一秒发出的信息不会被收到。
- 除此之外，不允许任何其他形式的通讯。
你需要用尽可能少的通讯秒数完成这个任务。
## 实现细节
请确保你的程序开头有 `#include "mpc.h"`。
你不需要也不应该实现主函数。你需要实现以下两个函数：
```cpp
int precalc(int n, int m);
```
- `n` 表示人数，`m` 表示整数的值域。
- 你需要返回通讯的秒数 $N$。
```cpp
bool transmit(player &player, int round, int position);
```
- `round` 表示目前通讯的秒数，其取值为 $[1,N]$ 中的整数；
- `position` 表示当前传递信息的人的编号，其取值为 $[0,n]$ 中的整数；
- `player` 为一个结构体类型，描述了当前传递信息的人。该结构体实现在 `mpc.h` 中。其包含以下两个成员变量：
- 布尔类型变量 `last_message`，表示上一秒上一个人传递的信息。若 `position` 为 $0$ 或 `round` 为 $1$，则 `last_message` 的值一定为 $0$；
- 长度为 $4096$ 的整型数组 `memory`，描述当前传递信息的人的“记忆”。
- 在 `transmit` 函数中，这个数组可以被任意修改。
- `player.memory` 只可能在 `transmit` 函数中被修改。若 `transmit` 函数中不对 `player.memory` 进行修改，则同一个人多次传递信息时，`player.memory` 都存储相同的值。
- `player.memory` 的初始值按照以下规则设定：
- `position` 不为 $n$ 时，`memory` 的 $0$ 到 $m-1$ 位取值为 $\{0,1\}$，从低位到高位描述 $a_{\text{position}}$ 的二进制表示（即第 $i$ 位对应位权 $2^i$ 的位），而其余位置为 $0$；
- 否则，该数组的所有位置均为 $0$。
- 你需要返回这个人在这一秒传递给下一个人的信息。
- 当 `position` 为 $n$ 时或 `round` 为 $N$ 时，该返回值不会产生任何影响。
在所有 `transmit` 调用结束后，你需要保证编号为 $n$ 的人的 `player.memory` 中前 $2200$ 位取值均属于 $\{0,1\}$，且对应的二进制数是所有 $a_i$ 的和。
在满足题目条件和数据范围的情况下，交互库至多消耗 $0.15$ 秒的时间以及 $128\text{MiB}$ 的空间。
**在程序中使用其他形式的通讯，包括但不限于使用全局变量，会被视为攻击交互库。**
## 测试程序方式
试题目录下提供了一个交互库的参考实现 `grader.cpp`。最终测试时所用的交互库实现与该实现有不同，因此选手的解法不应依赖交互库的具体实现。
你需要在本题目录下使用以下编译命令得到可执行程序：
`g++ mpc.cpp grader.cpp -o mpc -O2 -std=c++17 -lm`
可执行文件将从标准输入读入以下格式的数据：
- 第一行两个整数 $n, m$，
- 接下来 $n$ 行每行 $m$ 个 `01` 整数，从低到高表示每个人的整数的二进制表示，每行的两个整数之间用一个空格分隔。
读入完成后，交互库会先调用一次 `init(n,m)` 函数得到 $N$，然后进行 $\max(0,N)$ 轮调用，第 $k(1 \le k \le \max(0,N))$ 轮调用会调用所有 $\text{round}=k$ 的 `transmit` 函数，并在调用完之后更新相应的 `player.last_message` 的值。
- 若 $N \le 0$，则不会进行任何调用，所有 `player.memory` 为其初始值。
若你的程序正确运行，可执行文件会输出以下格式的数据：
- 第一行一个长度为 $2200$ 的字符串，表示所有 $a_i$ 的和，按二进制从低位到高位输出。
- 第二行一个字符串，依次输出所有交互完毕后编号为 $n$ 的人的 `player.memory` 中前 $2200$ 个位置表示的数，**相邻两个数之间没有空格**。
- 第三行，如果上述两个字符串不同，那么会告知你答案错误；不然，会输出你在这组数据上的得分。
本题目录中同时下发了样例 `1.in`，`1.ans` 以及一个样例程序 `mpc.cpp`。该样例程序可以通过下发的样例。
输入格式
无
输出格式
无
说明/提示
## 子任务
对于所有测试数据，$1 \le n,m \le 2000$。
本题共有 10 个子任务，每个子任务 10 分。
| 子任务编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :--------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $n =$ | 5 | 1000 | 1000 | 1000 | 3 | 10 | 500 | 1000 | 1500 | 2000 |
| $m =$ | 5 | 1 | 10 | 30 | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | 1500 | 2000 |
## 评分方式
本题首先会受到和传统题相同的限制，例如编译错误会导致整道题目得 0 分，运行时错误、超过时间限制、超过空间限制等会导致相应测试点得 0 分等。
在上述条件以外，在一个测试点中，若 $N > n+m+100$，或者在所有的 `transmit` 调用结束后编号为 $n$ 的人的 `player.memory` 中前 $2200$ 位对应的二进制数不是所有 $a_i$ 的和，你会获得 $0$ 分。否则，根据 $(N - n - m)$ 的值，你在该测试点的分数按照以下表格计算：
| $(N - n - m) \in$ | $[14,100]$ | $[12, 13]$ | $[9, 11]$ | $[6,8]$ | $[5,5]$ | $[4,4]$ | $(-\infty, 3]$ |
| :---------------: | :--------: | :--------: | :-------: | :-----: | :-----: | :-----: | :------------: |
| 分数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 |
你在一个子任务中的分数为该子任务中所有测试点的分数的最小值。