[省选联考 2024] 迷宫守卫

Alice 拥有一座迷宫，这座迷宫可以抽象成一棵拥有 $2^n$ 个叶节点的满二叉树，总节点数目为 $(2^{n+1} - 1)$，依次编号为 $1 \sim (2^{n+1} - 1)$。其中编号为 $2^n \sim (2^{n+1} - 1)$ 的是叶节点，编号为 $1 \sim (2^n - 1)$ 的是非叶节点，且非叶节点 $1 \le u \le (2^n - 1)$ 的左儿子编号为 $2u$，右儿子编号为 $(2u + 1)$。 每个非叶节点都有一个石像守卫，初始时，所有石像守卫均在沉睡。唤醒 $u$ 点的石像守卫需要 $w_u$ 的魔力值。 每个叶节点都有一个符文，$v$ 点的符文记作 $q_v$。**保证 $q_{2^n}, q_{2^n+1},\cdots, q_{2^{n+1}-1}$ 构成 $1 \sim 2^n$ 的排列**。 探险者初始时持有空序列 $Q$，从节点 $1$ 出发，按照如下规则行动： - 到达叶节点 $v$ 时，将 $v$ 点的符文 $q_v$ 添加到序列 $Q$ 的末尾，然后返回父节点。 - 到达非叶节点 $u$ 时： - 若该点的石像守卫已被唤醒，则只能先前往左儿子，（从左儿子返回后）再前往右儿子，（从右儿子返回后）最后返回父节点。 - 若该点的石像守卫在沉睡，可以在以下二者中任选其一： - 先前往左儿子，再前往右儿子，最后返回父节点。 - 先前往右儿子，再前往左儿子，最后返回父节点。 返回节点 $1$ 时，探险结束。可以证明，探险者一定访问每个叶节点各一次，故此时 $Q$ 的长度为 $2^n$。 探险者 Bob 准备进入迷宫，他希望探险结束时的 $Q$ 的字典序越小越好，与之相对，Alice 希望 $Q$ 的字典序越大越好。 在 Bob 出发之前，Alice 可以选择一些魔力值花费之和不超过 $K$ 的石像守卫，并唤醒它们。Bob 出发时，他能够知道 Alice 唤醒了哪些神像。若**双方都采取最优策略**，求序列 $Q$ 的最终取值。 对于两个长度为 $2^n$ 的序列 $Q_1,Q_2$，称 $Q_1$ 字典序小于 $Q_2$ 当且仅当以下条件成立： - $\exist i \in [1, 2^n]$ 满足以下两个条件： - $\forall 1 \le j < i，Q_{1,j} = Q_{2,j}$； - $Q_{1,i} < Q_{2,i}$。

**本题有多组测试数据**。输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示测试数据组数。 接下来依次 $T$ 组测试数据。对于每组测试数据： - 第一行两个整数 $n,K$ 表示迷宫规模和 Alice 可用于唤醒石像守卫的魔力值上限。 - 第二行 $(2^n - 1)$ 个整数 $w_1,w_2,\cdots,w_{2^n-1}$ 表示唤醒各个石像守卫耗费的魔力值。 - 第三行 $2^n$ 个整数 $q_{2^n}, q_{2^n+1},\cdots, q_{2^{n+1}-1}$ 表示各个叶节点上的符文。

对于每组数据，输出一行 $2^n$ 个整数 $Q_1,Q_2,\cdots,Q_{2^n}$，表示双方都采取最优策略的情况下，序列 $Q$ 的最终取值。

3
1 0
1
2 1
1 1
1
2 1
3 3
3 2 1 2 1 2 1
4 2 6 3 7 1 5 8

1 2
2 1
2 4 6 3 5 8 7 1

**【样例 1 解释】** - 第一组数据中，Alice 无法唤醒石像守卫，Bob 可以选择先访问叶节点 $3$，再访问叶节点 $2$，得 $Q = \{1, 2\}$。 - 第二组数据中，Alice 可以唤醒节点 $1$ 的石像守卫，Bob 只能先访问叶节点 $2$，再访问叶节点 $3$，得 $Q = \{2, 1\}$。 - 第三组数据中，Alice 的最优策略是唤醒节点 $5, 6$ 的石像守卫。 **【样例 2】** 见附件中的 `maze2.in/ans`。 该组数据满足特殊性质 A。 **【样例 3】** 见附件中的 `maze3.in/ans`。 该组数据满足特殊性质 B。 **【样例 4】** 见附件中的 `maze4.in/ans`。 **【样例 5】** 见附件中的 `maze5.in/ans`。 **【子任务】** 设 $\sum 2^n$ 表示单个测试点钟所有测试数据的 $2^n$ 的和。对于所有测试数据，保证 - $1\le T \le 100$； - $1\le n \le 16$，$1 \le \sum 2^n \le 10^5$； - $0\le K \le 10^{12}$ - $\forall 1 \le u \le (2^n-1)$，$0 \le w_u \le 10^{12}$； - $q_{2^n},q_{2^n+1},\cdots,q_{2^{n+1}-1}$ 构成 $1\sim 2^n$ 的排列。 | 测试点编号 | $n\le$ | $\sum 2^n \le$ | 特殊性质 | | :--: | :--: | :--: | :--: | | $1\sim 5$ | $4$ | $80$ | 无 | | $6$ | $6$ | $200$ | A | | $7\sim 8$ | $6$ | $200$ | B | | $9\sim 10$ | $6$ | $200$ | 无 | | $11$ | $11$ | $4000$ | A | | $12\sim 13$ | $11$ | $4000$ | B | | $14\sim 15$ | $11$ | $4000$ | 无 | | $16$ | $16$ | $10^5$ | A | | $17\sim 18$ | $16$ | $10^5$ | B | | $19\sim 20$ | $16$ | $10^5$ | 无 | 特殊性质 A：$\forall 2^n \le v \le (2^{n+1}-1)$，$q_v = (2^{n+1}-v)$。 特殊性质 B：$\forall 1 \le u \le (2^n-1)$，$w_u = 1$。