P10557 [ICPC 2024 Xi'an I] Dumb Robot
题目描述
你有一个笨机器人,你打算让它与 $n$ 个机器人玩游戏。
在游戏中有一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $A$。我们称矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $A_{i,j}$。游戏规则如下:
两个玩家同时从 $[1,3]$ 中各选择一个整数。我们称你的机器人选择的数为 $i$,另一个机器人选择的数为 $j$。
得分为 $A_{i,j}$。
在第 $i$ 局游戏中,你的机器人将与第 $i$ 个机器人进行游戏。第 $i$ 个机器人选择 $1$ 的概率为 $p_{i,1}$,选择 $2$ 的概率为 $p_{i,2}$,选择 $3$ 的概率为 $p_{i,3}$。
你的目标是在每局游戏中使得得分的期望值不为负。但你的机器人非常笨,所以它选择 $1$ 的概率为 $q_1$,选择 $2$ 的概率为 $q_2$,选择 $3$ 的概率为 $q_3$,而你不知道 $q_1,q_2,q_3$ 的值。
我们都知道 $q_1+q_2+q_3=1$。如果 $q_1,q_2,q_3$ 是从所有可能的情况下均匀随机选择的,请计算你达到目标的概率。
输入格式
无
输出格式
无
说明/提示
在例子 $1$ 中,例如,$(q_1=1,q_2=0,q_3=0)$ 是可以的。在这种情况下,你的机器人将始终选择 $1$,所以无论机器人 $1$ 选择什么数字,得分总是 $1$,这足以达到你的目标。(由 ChatGPT 4o 翻译)