P11881 [RMI 2024] 八边形 / Octagon

定义满足以下条件的多边形为**好的**： - 多边形是凸的； - 多边形的面积非零； - 多边形中**至多**有 $8$ 条边； - 多边形中，每条边要么平行于坐标轴，要么与坐标轴成 $45^{\circ}$ 角。 - 平行于坐标轴的边的长度为正整数； - 与坐标轴成 $45^{\circ}$ 角的边的长度为 $\sqrt 2$ 的正整数倍。 下图给出了好的多边形的示例。  设想沿**逆时针**方向环绕整个多边形一圈，会发现多边形由若干条长度为 $1$ 或 $\sqrt 2$ 的线段拼成。根据遍历的方向我们将线段分成八类：北/东北/东/东南/南/西南/西/西北。 给定这八类线段最多能使用的数量，求出能够构造出多少种**本质不同**的好的多边形。只需要求出答案对 $(10^9+7)$ 取模后的结果。 **本质不同**定义为：如果不能通过**平移**让两个多边形重合，那么这两个多边形本质不同。换句话说，两个好的多边形相同，当且仅当它们使用的八类线段数量完全相同。

一行八个非负整数，分别表示 北/东北/东/东南/南/西南/西/西北 这八类线段最多能使用的数量。

输出一行一个非负整数，表示答案对 $(10^9+7)$ 取模后的结果。

#### 样例解释 - 样例 $1$ 解释：只有 $1\times 1$ 的方形是好的。 - 样例 $2$ 解释：有 $19$ 种好的多边形。 #### 数据范围 对于 $100\%$ 的数据，保证输入的数是 $[0,10^9]$ 间的整数。 子任务 $0$ 为样例。 下表中，记 $N$ 为输入数的最大值。 | 子任务编号 | $N\le$ | 特殊性质 | 得分 | | :-: | :-: | :-: | :-: | | $1$ | $10^9$ | $\text{A}$ | $9$ | | $2$ | $100$ | | $17$ | | $3$ | $2\times 10^3$ | | $29$ | | $4$ | $2\times 10^5$ | | $29$ | | $5$ | $10^9$ | | $16$ | - 特殊性质 $\text{A}$：没有与坐标轴成 $45^{\circ}$ 角的线段。 **请注意本题对于「本质不同」的定义。**