P11905 [NHSPC 2023] D. 共同子凸包

在数学上，一个点集合 $S$ 的**凸包** (convex hull) 定义为包含 $S$ 的最小凸集合，记作 $\operatorname{Conv}(S)$。在平面上，若 $S$ 为非空有限点集合，则 $\operatorname{Conv}(S)$ 为一包含内部与边界的最小凸多边形，或其退化形式。另一方面，设 $E_1$ 与 $E_2$ 为平面上的两个点集合。若存在某个二维向量 $\mathbf{v}$，满足 $$P \in E_1 \iff P+\mathbf{v} \in E_2,$$ 则称 $E_1$ 与 $E_2$ 经过平移后重合。 现给定平面上的有限点集合 $S_1$ 与 $S_2$，并考虑它们的非空子集合 $T_1\subseteq S_1$ 与 $T_2\subseteq S_2$。已知子凸包 $\operatorname{Conv}(T_1)$ 与子凸包 $\operatorname{Conv}(T_2)$ 面积皆大于 $0$ 且经过平移后重合，请求出 $\operatorname{Conv}(T_1)$ 所有可能的面积。 以下展示两个子凸包平移后重合的例子。 

> $n$ $m$ > $x_1$ $y_1$ > $x_2$ $y_2$ > $\vdots$ > $x_n$ $y_n$ > $\xi_1$ $\eta_1$ > $\xi_2$ $\eta_2$ > $\vdots$ > $\xi_m$ $\eta_m$ * $n$ 代表 $S_1$ 的集合大小。 * $m$ 代表 $S_2$ 的集合大小。 * $x_i, y_i$ 代表 $S_1$ 包含点 $(x_i, y_i)$。 * $\xi_i, \eta_i$ 代表 $S_2$ 包含点 $(\xi_i, \eta_i)$。

> $k$ > $a_1$ > $a_2$ > $\vdots$ > $a_k$ * $k$ 代表若子凸包 $\operatorname{Conv}(T_1)$ 与子凸包 $\operatorname{Conv}(T_2)$ 经过平移后重合，$\operatorname{Conv}(T_1)$ 所有可能的非 $0$ 面积数。 * $a_i$ 为一整数，代表 $\operatorname{Conv}(T_1)$ 所有可能的非 $0$ 面积中，第 $i$ 小的数的**两倍**。

### 测试数据限制 * $3 \le n \le 40$。 * $3 \le m \le 40$。 * $0 \le x_i \le 20$。 * $0 \le y_i \le 20$。 * $0 \le \xi_i \le 20$。 * $0 \le \eta_i \le 20$。 * 对任意 $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$，若 $i \ne j$，则 $(x_i, y_i) \ne (x_j, y_j)$。 * 对任意 $i, j \in \{1, 2, \ldots, m\}$，若 $i \ne j$，则 $(\xi_i, \eta_i) \ne (\xi_j, \eta_j)$。 * 输入的数皆为整数。 ### 评分说明 本题共有四组子任务，条件限制如下所示。 每一组可有一或多个测试数据，该组所有测试数据皆需答对才可获得该组分数。 | 子任务 | 分数 | 额外输入限制 | | :------: | :----: | ------------ | | 1 | $7$ | 所有可能的非 $0$ 面积必能从 $T_1$ 与 $T_2$ 中各选 $3$ 个点得到 | | 2 | $23$ | $n+m \le 30$ | | 3 | $41$ | $S_1 = S_2$ | | 4 | $29$ | 无额外限制 |