P12440 [NERC2023] Innovative Washing Machine

你被邀请协助一个参加"创新工坊"的学生团队——这是一个让学生团队发明并制作创新产品原型的活动。该团队开发了一款新型创新洗衣机，能显著降低洗衣所需的能耗。 这个创新点在于使用凸多边形而非圆形作为洗衣机滚筒的形状。现在给你这个多边形。滚筒以恒定速度绕多边形内部某个固定点旋转，每秒转 $1$ 圈。 目前原型机已经建成并开始测试。滚筒内有 $s$ 升水。在任何时刻，受重力影响的水都会占据滚筒底部面积为 $s$ 的区域。 位于水下的多边形顶点会受到压力。根据帕斯卡定律，压力与深度成正比。设在某一时刻有 $k$ 个顶点位于水下，其深度分别为 $d_1, d_2, \ldots, d_k$。我们定义**压力失衡值**为水下顶点深度与最大水下顶点深度的平均差值，即 $\frac{1}{k} \sum\limits_{i=1}^{k} \left(\max\limits_{j=1}^{k} d_j - d_i \right)$。注意 $d_i$ 的顺序不影响计算结果。  第三个测试用例中的多边形正在旋转。顶点 $1$、$2$、$3$、$4$、$8$ 位于水下。 为了选择最优的滚筒形状，团队需要知道在时间区间 $[0, 1]$（秒）内均匀随机选取时刻时压力失衡值的期望。请帮助团队计算这个值。

第一行包含一个整数 $t$（$1 \leq t \leq 10^4$）——测试用例数量。接下来是各测试用例的描述。 每个测试用例的第一行包含两个整数 $n$, $s$（$3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$, $s \geq 1$）——多边形的顶点数和滚筒内的水量（升）。保证 $s$ 小于多边形面积。 接下来的 $n$ 行每行包含两个整数 $x_i$, $y_i$（$|x_i|, |y_i| \leq 10^8$）——多边形顶点的坐标。 保证给定点构成一个凸多边形。多边形面积为正且没有两条连续边共线。多边形顶点按逆时针顺序给出。 所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2 \cdot 10^5$。

对于每个测试用例，输出一个实数——在随机均匀时刻的压力失衡值的期望。 当你的答案与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-5}$ 时视为正确。形式化地说，设你的答案为 $p$，标准答案为 $j$，则应满足：$\frac{|p - j|}{\max\{1, |j|\}} \le 10^{-5}$。