[国家集训队]单选错位

题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛,其中有一种题型叫单项选择题,顾名思义,只有一个选项是正确答案。 试卷上共有 $n$ 道单选题,第 $i$ 道单选题有 $a_i$ 个选项,这 $a_i$ 个选项编号是 $1,2,3,\ldots,a_i$,每个选项成为正确答案的概率都是相等的。 lc 采取的策略是每道题目随机写上 $1 \sim a_i$ 的某个数作为答案选项,他用不了多少时间就能期望做对 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ 道题目。gx 则是认认真真地做完了这 $n$ 道题目,可是等他做完的时候时间也所剩无几了,于是他匆忙地把答案抄到答题纸上,没想到抄错位了:第 $i$ 道题目的答案抄到了答题纸上的第 $i+1$ 道题目的位置上,特别地,第 $n$ 道题目的答案抄到了第 $1$ 道题目的位置上。 现在 gx 已经走出考场没法改了,不过他还是想知道自己期望能做对几道题目,这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。 我们假设 gx 没有做错任何题目,只是答案抄错位置了。

输入输出格式

输入格式


$n$ 很大,为了避免读入耗时太多,输入文件只有 $5$ 个整数参数 $n, A, B, C, a_1$,由上交的程序产生数列 $a$。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句(默认从标准输入读入): ```cpp // for pascal readln(n,A,B,C,q[1]); for i:=2 to n do q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001; for i:=1 to n do q[i] := q[i] mod C + 1; // for C/C++ scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1); for (int i = 2; i <= n; i++) a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001; for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i] % C + 1; ``` 选手可以通过以上的程序语句得到 $n$ 和数列 $a$($a$ 的元素类型是 $32$ 位整数),$n$ 和 $a$ 的含义见题目描述。

输出格式


输出一个实数,表示 gx 期望做对的题目个数,保留三位小数。

输入输出样例

输入样例 #1

3 2 0 4 1

输出样例 #1

1.167

说明

【样例说明】 | 正确答案 | gx的答案 | 做对题目 | 出现概率 | | :----------: | :----------: |:----------: | :----------: | | $\{1,1,1\}$ | $\{1,1,1\}$ | $3$ | $\frac16$ | | $\{1,2,1\}$ | $ \{1,1,2\}$ | $1$ | $\frac16$ | |$\{1,3,1\}$ | $ \{1,1,3\} $ | $1$ | $\frac16$ | |$\{2,1,1\}$ | $ \{1,2,1\} $ | $1$ | $\frac16$| |$\{2,2,1\}$ | $ \{1,2,2\}$ | $1$ | $\frac16$ | |$\{2,3,1\}$ | $\{1,2,3\} $ | $0$ | $\frac16$ | $a = \{2,3,1\}$。 共有 $6$ 种情况,每种情况出现的概率是 $\frac{1}{6}$,gx 期望做对 $\frac{3+1+1+1+1+0}6 = \frac76$ 题。(相比之下,lc 随机就能期望做对 $\frac{11}6$ 题) 对于 $30\%$ 的数据,$n\leq 10, C\leq 10$。 对于 $80\%$ 的数据,$n\leq 10^4, C\leq 10$。 对于 $90\%$ 的数据,$n\leq 5\times 10^5, C\leq 10^8$。 对于 $100\%$ 的数据,$2\leq n\leq 10^7, 0\leq A,B,C \leq 10^8$,$1 \leq a_i \leq 10^8$。