P13431 [GCJ 2009 #1A] Multi-base happiness

给定一个整数 $N$，将其替换为各位数字的平方和。**若不断重复此过程，最终能得到 $1$，则称该数为“快乐数”。** 例如，若从 $82$ 开始： ``` 8*8 + 2*2 = 64 + 4 = 68，重复： 6*6 + 8*8 = 36 + 64 = 100，重复： 1*1 + 0*0 + 0*0 = 1 + 0 + 0 = 1（快乐！:) ``` 由于最终结果为 $1$，所以 $82$ 是一个快乐数。 注意，一个数在某些进制下可能是快乐数，而在其他进制下则不是。例如，十进制下的 $82$ 在三进制下写作 $10001$，但它在三进制下不是快乐数。 你是世界顶级的数字侦探。一些进制联合起来（没错，它们有组织！）雇佣你完成一项重要任务：**找出大于 $1$ 的最小整数，使其在所有给定进制下都是快乐数。**

第一行输入测试用例数 $T$。接下来有 $T$ 个测试用例。每个用例为一行，包含若干个不同的正整数，表示进制。进制总是升序排列。

对于每个测试用例，输出： Case #$X$: $K$ 其中 $X$ 表示测试编号（从 $1$ 开始），$K$ 表示十进制下大于 $1$ 且在所有给定进制下都是快乐数的最小整数。

**限制条件** - $2 \leq$ 所有可能出现的进制 $\leq 10$ **小数据集（9 分）** - $1 \leq T \leq 42$ - 每组测试用例所含进制数 $2 \leq \text{数量} \leq 3$ **大数据集（18 分）** - $1 \leq T \leq 500$ - 每组测试用例所含进制数 $2 \leq \text{数量} \leq 9$ 翻译由 ChatGPT-4.1 完成。