P13800 [SWERC 2023] Throwing dice

:::align{center}  ::: Alice 和 Bob 正在讨论点球大战的随机性：“我们还不如掷骰子来决定胜负呢！”，Alice 说道。于是他们开始通过各自掷骰子来模拟点球大战，将各自骰子上显示的点数相加，然后比较总和。点数总和较大的一方获胜；如果两人的总和相等，则为平局。 但即使在这种情况下，某一方也可能因为所用骰子的不同而占有优势。因此，仅仅通过观察即将掷出的骰子，Alice 和 Bob 想要判断谁更有优势。 Alice 有 $M$ 个公平骰子，每个骰子的面数分别为 $A_1, A_2, \dots, A_M$。对于所有满足 $1 \leq k \leq M$ 且 $1 \leq l \leq A_k$ 的整数，Alice 的第 $k$ 个骰子掷出编号为 $l$ 的点数的概率为 $1/A_k$。于是，Alice 的得分为她的 $M$ 个骰子显示的点数之和。同理，Bob 有 $N$ 个公平骰子，每个骰子的面数分别为 $B_1, B_2, \dots, B_N$。 给定这些骰子，Alice 以严格大于 Bob 得分的概率为 $\mathbb{P}_A$，Bob 以严格大于 Alice 得分的概率为 $\mathbb{P}_B$。请判断哪一个概率更大？

输入包含三行，每行由若干用空格分隔的整数构成。第一行包含整数 $M$ 和 $N$。第二行包含 $A_1, A_2, \dots, A_M$。第三行包含 $B_1, B_2, \dots, B_N$。 **数据范围** - $1 \leq M \leq 100\,000$； - $1 \leq N \leq 100\,000$； - 对于所有 $k \leq M$，$4 \leq A_k \leq 1\,000\,000\,000$； - 对于所有 $k \leq N$，$4 \leq B_k \leq 1\,000\,000\,000$；

输出仅一行，仅包含一个大写单词：如果 $\mathbb{P}_A > \mathbb{P}_B$，输出 $\texttt{ALICE}$；如果 $\mathbb{P}_A = \mathbb{P}_B$，输出 $\texttt{TIED}$；如果 $\mathbb{P}_A < \mathbb{P}_B$，输出 $\texttt{BOB}$。

**样例解释 1** 由于 Alice 有 8 个骰子，她的得分总是至少为 8；而 Bob 的得分总是至多为 6。因此，Alice 以概率 $\mathbb{P}_A = 100\%$ 战胜 Bob，而 Bob 战胜她的概率 $\mathbb{P}_B = 0\%$。因此，$\mathbb{P}_A > \mathbb{P}_B$。 **样例解释 2** Alice 以概率 $\mathbb{P}_A = 125/288$ 战胜 Bob；Bob 也以概率 $\mathbb{P}_B = 125/288$ 战胜 Alice。 由 ChatGPT 4.1 翻译