P14499 [NCPC 2025] Egyptian Equality

:::align{center}  吉萨的卡夫拉金字塔。在金字塔顶端可以看到许多残存的外包石。 图片作者 Daaaveee，来源：commons.wikimedia.org。 :::

友好但彼此竞争的考古学家 Ameena 与 Bilal 正在寻找 **Nomarch’s Celestial Pyramid of Cauris**（州长的天界金字塔）的失落入口。经过数千年，外层的大部分已被剥离，因此入口必然位于北侧剩下的某一块“外包石”之后——这些光滑的石灰岩块曾覆盖整个金字塔。 为了避免彼此的传感器阵列相互干扰，Ameena 和 Bilal 将把金字塔的北面划分成两个相连的区域，各扫描一个。为了公平，每个区域必须包含相同数量的外包石。 他们将金字塔的北面建模为一个三角形的网格。该网格有 $N$ 行、$2N - 1$ 列，金字塔占据其中的一个子集：第一行是中间的一个格子，第二行是中间的三个格子，第三行是中间的五个格子，以此类推。网格中的某些非空格子是外包石。 你的任务是将金字塔划分成两个区域 $A$ 和 $B$，使其满足： - 金字塔中的每一个格子恰好属于一个区域； - 每个区域都是连通的（如果可以通过相邻格子一步步走到区域内任意两个格子之间，则称该区域连通；两个格子若共享一条边则相邻）； - 两个区域包含的外包石数量相同。

第一行包含整数 $N$（$2 \le N \le 300$）。 接下来的 $N$ 行中，每行包含 $2N - 1$ 个字符，用于描述哪些格子是外包石。 字符含义如下： - `#` 表示不属于金字塔的格子； - `.` 表示属于金字塔但不是外包石的格子； - `C` 表示外包石。 金字塔中至少存在一块外包石。

如果无法对金字塔进行满足要求的划分，则输出 `impossible`。 否则输出 $N$ 行，每行一个长度为 $2N - 1$ 的字符串，用于描述划分方式。其中： - `#` 表示不属于金字塔的格子； - `A` 表示属于 Ameena 的格子； - `B` 表示属于 Bilal 的格子。 如果存在多个合法答案，你可以输出任意一个。

翻译由 ChatGPT-5 完成